伽利略變換 是經典力學 中用以在兩個只以勻速相對移動的參考系 之間變換的方法，屬於一種被動態變換。在相對論 效應下，伽利略變換在物體以接近光速 運動時不成立[ 1] [ 2]
伽利略·伽利萊 在解釋勻速運動時制定了這一套概念。[ 3] 球體 滾下斜面 這一力學問題，並測量出地球 表面引力 加速度 的數值。
在狹義相對論中，伽利略變換被龐加萊變換 所取代；相反，龐加萊變換的經典極限 c →∞中的群收縮產生了伽利略變換。
伽利略變換示意圖 伽利略變換建基於人們加減物體速度的直覺。在其核心，伽利略變換假設時間和空間是絕對 的。
這項假設在洛倫茲變換 中被捨棄，因此就算在相對論 性速度下，洛倫茲變換也是成立的；而伽利略變換則是洛倫茲變換的低速近似值。
以下為伽利略變換的數學表達式，其中
(
x
,
y
,
z
,
t
)
{\displaystyle (x,y,z,t)}
(
x
′
,
y
′
,
z
′
,
t
′
)
{\displaystyle (x',y',z',t')}
S
{\displaystyle S}
S
′
{\displaystyle S'}
速度 為
v
{\displaystyle v}
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x'}
t
=
t
′
=
0
{\displaystyle t=t'=0}
[ 4] [ 5] [ 6] [ 7]
x
′
=
x
−
v
t
{\displaystyle x'=x-vt\,}
y
′
=
y
{\displaystyle y'=y\,}
z
′
=
z
{\displaystyle z'=z\,}
t
′
=
t
{\displaystyle t'=t\,}
最後一條方程式意味着時間是不受觀測者的相對運動影響的。
利用線性代數 的術語來說，這種變換是個錯切 ，是矩陣對向量進行變換的一個過程。當參考系只沿着x軸移動時，伽利略變換只作用於兩個分量：
(
x
′
,
t
′
)
=
(
x
,
t
)
(
1
0
−
v
1
)
.
{\displaystyle (x',t')=(x,t){\begin{pmatrix}1&0\\-v&1\end{pmatrix}}.}
雖然在伽利略變換中沒有必要用到矩陣表達法，但是用了矩陣就可以和狹義相對論中的變換法進行比較。
沿着一個加速中觀測者的世界線 所看到的時空 。錯切 。 伽利略變換可以唯一寫成由時空的旋轉、平移和勻速運動複合 而成的函數。[ 8] x 為三維空間中的一點，t 為一維時間中的一點。時空當中的任何一點可以表達為有序對 (x ,t )。速度為v 的勻速運動表達為
(
x
,
t
)
↦
(
x
+
t
v
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +t\mathbf {v} ,t)}
v 在R 3 內。平移表達為
(
x
,
t
)
↦
(
x
+
a
,
t
+
b
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (\mathbf {x} +\mathbf {a} ,t+b)}
a 在R 3 內，b 在R 內。旋轉表達為
(
x
,
t
)
↦
(
G
x
,
t
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\mapsto (G\mathbf {x} ,t)}
G : R 3 → R 3 正交變換 。[ 8] 李群 ，伽利略變換的維度為10。[ 8]
這三種變換可更加數學化地表達為伽利略群[ 9]
<
G
x
→
,
G
y
→
>=<
x
→
,
y
→
>
{\displaystyle <G{\overrightarrow {x}},G{\overrightarrow {y}}>=<{\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}>\,\!}
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}
G
x
→
+
a
→
+
b
→
⋅
t
{\displaystyle G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
φ
t
{\displaystyle \varphi _{t}}
單位元：
φ
t
(
0
→
,
0
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}}
逆映射：
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
−
1
=
φ
t
(
−
G
−
1
a
→
,
−
G
−
1
b
→
,
G
−
1
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)^{-1}=\varphi _{t}(-G^{-1}{\overrightarrow {a}},-G^{-1}{\overrightarrow {b}},G^{-1})}
封閉性：
φ
t
(
a
′
→
,
b
′
→
,
G
′
)
∘
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
(
x
→
)
=
G
G
′
x
→
+
(
G
′
a
→
+
a
′
→
)
+
(
G
b
→
+
b
′
→
)
⋅
t
=
φ
t
(
G
′
a
→
+
a
′
→
,
G
b
→
+
b
′
→
,
G
G
′
)
(
x
→
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{t}({\overrightarrow {a'}},{\overrightarrow {b'}},G')\circ \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)({\overrightarrow {x}})=GG'{\overrightarrow {x}}+(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}})+(G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}})\cdot t\\=\varphi _{t}(G'{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {a'}},G{\overrightarrow {b}}+{\overrightarrow {b'}},GG')({\overrightarrow {x}})\end{aligned}}}
φ
t
(
a
→
,
0
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
+
a
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {0}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}}
φ
t
(
0
→
,
b
→
,
I
)
(
x
→
)
=
x
→
+
b
→
⋅
t
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {b}},\mathbf {I} )({\overrightarrow {x}})={\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t}
φ
t
(
0
→
,
0
→
,
G
)
(
x
→
)
=
G
x
→
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {0}},{\overrightarrow {0}},G)({\overrightarrow {x}})=G{\overrightarrow {x}}}
φ
t
(
a
→
,
b
→
,
G
)
{\displaystyle \varphi _{t}({\overrightarrow {a}},{\overrightarrow {b}},G)}
t
↦
t
+
t
0
{\displaystyle t\mapsto t+t_{0}}
(
x
→
,
t
)
↦
(
φ
t
,
t
+
t
0
)
=
(
G
x
→
+
a
→
+
b
→
⋅
t
,
t
+
t
0
)
{\displaystyle ({\overrightarrow {x}},t)\mapsto (\varphi _{t},t+t_{0})=(G{\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}\cdot t,t+t_{0})}
這裏我們只考慮伽利略群 的李代數 。結果能夠輕易延伸到李群 。L的李代數由H、Pi 、Ci 和Lij 張成 （反對稱張量 ），並能夠受交換子 的作用，其中
[
H
,
P
i
]
=
0
{\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}
[
P
i
,
P
j
]
=
0
{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
,
H
]
=
0
{\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}
[
C
i
,
C
j
]
=
0
{\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
,
L
k
l
]
=
i
[
δ
i
k
L
j
l
−
δ
i
l
L
j
k
−
δ
j
k
L
i
l
+
δ
j
l
L
i
k
]
{\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}
[
L
i
j
,
P
k
]
=
i
[
δ
i
k
P
j
−
δ
j
k
P
i
]
{\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}
[
L
i
j
,
C
k
]
=
i
[
δ
i
k
C
j
−
δ
j
k
C
i
]
{\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}
[
C
i
,
H
]
=
i
P
i
{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}
[
C
i
,
P
j
]
=
0
.
{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}
H為時間平移的生成元（哈密頓算符 ），Pi 為平移的生成元（動量算符 ），Ci 為伽利略變換的生成元，而Lij 為旋轉的生成元（角動量算符 ）。
現在我們可以對H'、P'i 、C'i 、L'ij （反對稱張量）、M所張成的李群進行中心擴張，使得M與一切都可交換 （位於中心 ，「中心擴張」因此得名）：
[
H
′
,
P
i
′
]
=
0
{\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}
[
P
i
′
,
P
j
′
]
=
0
{\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
′
,
H
′
]
=
0
{\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}
[
C
i
′
,
C
j
′
]
=
0
{\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}
[
L
i
j
′
,
L
k
l
′
]
=
i
[
δ
i
k
L
j
l
′
−
δ
i
l
L
j
k
′
−
δ
j
k
L
i
l
′
+
δ
j
l
L
i
k
′
]
{\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}
[
L
i
j
′
,
P
k
′
]
=
i
[
δ
i
k
P
j
′
−
δ
j
k
P
i
′
]
{\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}
[
L
i
j
′
,
C
k
′
]
=
i
[
δ
i
k
C
j
′
−
δ
j
k
C
i
′
]
{\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}
[
C
i
′
,
H
′
]
=
i
P
i
′
{\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}
[
C
i
′
,
P
j
′
]
=
i
M
δ
i
j
{\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}
![{\displaystyle [H,P_{i}]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6f07c2a65a586dbaebb514e8158741c69ac1b)
![{\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e108d10a8f16af47969cb6685fd1a5c65ae3472d)
![{\displaystyle [L_{ij},H]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a87d6b8aa578fa6b9a734b6b7388625d67e413e)
![{\displaystyle [C_{i},C_{j}]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/417c196a6e1a5dd592ffb2e070716e9aa3300bdf)
![{\displaystyle [L_{ij},L_{kl}]=i[\delta _{ik}L_{jl}-\delta _{il}L_{jk}-\delta _{jk}L_{il}+\delta _{jl}L_{ik}]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fe9fe77b6c2b95eb1709ab3f9c1efc5214869ca)
![{\displaystyle [L_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee2890cbf3a1216d04af637c2a13b0d24554fd37)
![{\displaystyle [L_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/402e64fc45286804abdf22f34271fcea350bbcfd)
![{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5972e950d30691dba2fafc2e58977300b6ad69)
![{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=0\,\!.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88d63ff279a360c63ee2678d1a733f8a15da30c)
![{\displaystyle [H',P'_{i}]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5de574832089c79e6f579c52ef4de1f1f950c13)
![{\displaystyle [P'_{i},P'_{j}]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e56cbe7fc5ad8aaa4b5e99bd208e961edcbb242)
![{\displaystyle [L'_{ij},H']=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334b98de717fad3a286c171163b52e65222e72a5)
![{\displaystyle [C'_{i},C'_{j}]=0\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c93f26d28dda58f1c60e3938f66753530cd0fec)
![{\displaystyle [L'_{ij},L'_{kl}]=i[\delta _{ik}L'_{jl}-\delta _{il}L'_{jk}-\delta _{jk}L'_{il}+\delta _{jl}L'_{ik}]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627522438a338d0623fe653177fbf778892aa7d3)
![{\displaystyle [L'_{ij},P'_{k}]=i[\delta _{ik}P'_{j}-\delta _{jk}P'_{i}]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc33032edd56c7309ae548c711c86071e157dc0b)
![{\displaystyle [L'_{ij},C'_{k}]=i[\delta _{ik}C'_{j}-\delta _{jk}C'_{i}]\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f774a5b5348649053a05ecb9349301f2f659c5e)
![{\displaystyle [C'_{i},H']=iP'_{i}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa99e5eac46bb60b94276b49313baea2e8dabc3)
![{\displaystyle [C'_{i},P'_{j}]=iM\delta _{ij}\,\!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf3e98524cf8590d40c83fa67451363db4fe707)
