伯特蘭-切比雪夫定理說明:若整數,則至少存在一個質數,符合。另一個稍弱說法是:對於所有大於1的整數,存在一個質數,符合。
1845年約瑟·伯特蘭提出這個猜想。伯特蘭檢查了2至3×106之間的所有數。1850年切比雪夫證明了這個猜想。拉馬努金給出較簡單的證明,而艾狄胥則借二項式系數給出了另一個簡單的證明。
相關定理
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特證明:個大於的連續整數之積,是一個大於的質數的倍數。
艾狄胥證明:對於任意正整數,存在正整數使得對於所有,和之間有個質數。
他又證明、時,而且有,其中兩個質數分別是4的倍數加1,4的倍數減1。
根據質數定理,和之間的質數數目大約是。
證明
證明的方法是運用反證法,反設定理不成立,然後用兩種方法估計的上下界,得出矛盾的不等式
註:下面的證明中,都假設屬於質數集。
這條不等式是關於的下界的。
- 對於正整數,
證明 :
- 對於 ,
- 若,
- 因此
證明: 注意到所有大於 k+1 而小於 2k+1 的質數都在(2k+1)! 中而不在(k+1)! 或 k! 中,於是 是的因子。
- 同時又有
- 於是就有
這個定理和的上界有關。
- 對於所有正整數,
當,2 < 16,成立。
假設對於所有少於的整數,敘述都成立。
顯然,若n>2且n是偶數,。對於奇數的n,設n=2k+1。
從引理1和歸納假設可得:
首先的定理:
- 若是質數,是整數。設是最大的整數使得 ,則
下面這些系理和的上界有關。
若為質數,設是最大的整數使得 整除 ,則:
對於所有, ,所以
於是得到三個上界:
- 若 ,
- 若 ,(因為 2n! 中只有兩個 p,在 n! 中恰有一個 p)
假設存在大於1的正整數,使得沒有質數符合。根據系理1.2和1.3:
再根據系理1.1和定理1: 上式最右方
結合之前關於的下界的不等式1:
兩邊取2的對數,並設:
- 。
顯然,即時,此式不成立,得出矛盾。 因此時,伯特蘭—切比雪夫定理成立。
再在時驗證這個假設即可。
參考
外部連結
- Some Problems of Combinatorial Number Theory Related to Bertrand's Postulate(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), Lawrence E. Greenfield
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