代數獨立

在抽象代數裏，一個體${\displaystyle L}$的子集${\displaystyle S}$若被稱做代數獨立於一子體${\displaystyle K}$的話，表示${\displaystyle S}$內的元素都不符合系數包含在${\displaystyle K}$內的非平凡多項式。這表示任何以${\displaystyle S}$內元素排成的有限序列${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}$（沒有兩個是一樣的）和任一系數包含在${\displaystyle K}$的非零多項式${\displaystyle P(x_{1},\cdots ,x_{n})}$，都會得到：

${\displaystyle P(\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n})\neq 0}$

特別的是，單元素集合${\displaystyle \{\alpha \}}$若是代數獨立於${\displaystyle K}$的話，當且僅當${\displaystyle \alpha }$會是${\displaystyle K}$內的超越數或超越函數。一般而言，和於${\displaystyle K}$代數獨立集合的所有元素也必然會是${\displaystyle K}$內的超越數或超越函數，但反之則不必然。

舉例來說，實數${\displaystyle \mathbb {R} }$的子集${\displaystyle \{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}}$並不代數獨立於有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$，當存在一非零多項式：

${\displaystyle P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1}$

${\displaystyle x_{1}}$代入${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$和${\displaystyle x_{2}}$代入${\displaystyle 2\pi +1}$時會變成${\displaystyle 0}$。

林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當${\displaystyle \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{n}}$為線性無關於有理數的代數數時，${\displaystyle {\mbox{e}}^{\alpha _{1}},\cdots ,{\mbox{e}}^{\alpha _{n}}}$便會代數獨立於有理數。

現在依然沒有證明出集合${\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}\}}$是否代數獨立於有理數。Nesterenko（英語：Yuri Valentinovich Nesterenko）在1996年證明了${\displaystyle \{\pi ,{\mbox{e}}^{\pi },\Gamma (1/4)\}}$是代數獨立於有理數的。

給定一體擴張${\displaystyle L/K}$，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一${\displaystyle L}$的最大代數獨立子集於${\displaystyle K}$。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。