九連環

九連環是一種源於中國的傳統智力遊戲，韓國稱為留客珠、留客環^[1]，這種古老玩具以往在民間極為普及。它包含着九個相同的圓環及一把「劍」，遊戲目標是把九個圓環全套上或卸下。

結構

九個圓環：
- 每個圓環上都連着一根直桿，
- 每根直桿都從後一環內穿過，除最後一環。
一個劍框（木、鐵…）：
- 每個圓環最後都穿過這劍框。
一根長形劍（鐵棒、釵…）：
- 穿在九個環上，可由複雜步驟取出或裝上。

名稱

中國稱做「九連環」。
- 其實九連環不一定是要「九」連環，也可以是「七」連環、「十一」連環等，但其中卻是「九連環」最廣為人知。中國人心目中以九為尊，且「九」代表一種「多數」。有這種說法：「『巧環』難解，『九連環』更難解」，「九」個「連環」表示着一種不能輕易得解的等級，難度達到了顛峰。其中次出名的為「六連環」，取其六六無窮之意。
西方稱為「中國環 (Chinese Ring)」。
意大利叫作「卡丹環 (Cardan's Rings)」。
威尼斯稱做「所羅門王之封 (Sigillo Salomen)。
- 因可被當做不用鑰匙開啟的鎖。

歷史

傳說九連環源於中國古代民間，一說發明於戰國時代，另一說發明於三國時期，但能確認就是九連環的記載是明代楊慎（1488-1559，號升庵）的《丹鉛總錄》（見《升庵集》卷六十八）。

中國
- 戰國時代名家惠施曾著立《連環可解》的立論。
  - 惠施所說連環是指《戰國策》卷第十三中提到的玉連環，南宋鮑彪注稱這種玉連環是「兩環相貫」，顯然不是這裏所說的九連環。
- 據說三國時期，諸葛亮常帶兵打仗，為排遣妻子寂寞而發明。
- 於明代普及，明代中期時，流傳更是極廣。
- 清代上至士大夫，下至販夫走卒，個個愛玩「九連環」。
- 《紅樓夢》中曾有描寫在深閨中玩九連環的細節。
西方
- 1550年
  - 巴黎刊行的數學文獻，清楚地討論過這「中國難題」。
  - 著名意大利數學家卡當的著作中將之稱為「中國九連環」。
- 1685年，英國數學家瓦里斯對此作了詳細的數學說明。
- 19世紀，格羅斯用二進位數給了它一個十分優美的解答。

原理和數學結構

九連環背後的數學結構是一種二進位系統，因為其九個環有固定的順序，且每個環都有位於上方和下方兩種狀態，因此若將環的兩種狀態分別給予代號1和0，則九連環某時刻的狀態011010010，可以被給予代號 $S$ ，本段將討論各不同狀態間的轉換和可能性。

兩種基本操作

九連環有且只有兩種操作方法，本段中將最右端的數位定為九連環的刀尖末端的環。

操作一或操作 $A$ ，刀尖指向右方時，切換最右方的環的狀態，原先位於上的下移，原先位於下的上移，該可切換之環以代號x表示。

例如: $00110101x$

操作二或操作 $B$ ，刀尖指向右方時，切換位於上排處最右端環的左側鄰近環，原先位於上的下移，原先位於下的上移，該可切換之環以代號x表示。

例如: $001101x10$

基本操作之可逆性

定義描述方式:

$\cdots S_{n}\cdot A\cdot S_{n+1}\cdot B\cdot S_{n+2}\cdots$

的意涵為：

當處於 $S_{n}$ 狀態之九連環向式子右方進行了 $A$ 操作後會轉換至 $S_{n+1}$ 的狀態，該 $S_{n+1}$ 狀態再繼續向右方進行了 $B$ 操作後會轉換至 $S_{n+2}$ 的狀態。因為操作之可逆性，因此也可以解讀成當處於 $S_{n+2}$ 狀態之九連環向式子左方進行了 $B$ 操作後會轉換至 $S_{n+1}$ 的狀態，該 $S_{n+1}$ 狀態再繼續向左方進行了 $A$ 操作後會轉換至 $S_{n}$ 的狀態。