中心化子和正規化子

群論中，一個群 ${\displaystyle G}$ 的子集 ${\displaystyle S}$ 的中心化子（英語：Centralizer）${\displaystyle C_{G}(S)}$ 是 ${\displaystyle G}$ 中與所有 ${\displaystyle S}$ 的元素滿足交換律的元素組成的集合； ${\displaystyle S}$ 的正規化子（英語：Normalizer） ${\displaystyle N_{G}(S)}$ 是 ${\displaystyle G}$ 中使 ${\displaystyle S}$ 關於 ${\displaystyle g}$ 的共軛類等於 ${\displaystyle S}$ 的元素 ${\displaystyle g}$ 組成的集合，此條件較上述中心化子的條件弱。

群論
群
基本概念 子群 · 正規子群 · 商群 · 群同態 · 像 · (半)直積 · 直和 單純群 · 有限群 · 無限群 · 拓撲群 · 群概形 · 循環群 · 冪零群 · 可解群 · 圈積 離散群 有限單群分類 循環群 Zn 交錯群 An 李型群 散在群 馬蒂厄群 M11..12,M22..24 康威群 Co1..3 揚科群 J1..4 費歇爾群（英語：Fischer group）F22..24 子魔群（英語：sub monster group） B 魔群 M 其他有限群 對稱群, Sn 二面體群, Dn 無限群 整數, Z 模群, PSL(2,Z) 和 SL(2,Z) 連續群 李群 一般線性群 GL(n) 特殊線性群 SL(n) 正交群 O(n) 特殊正交群 SO(n) 么正群 U(n) 特殊么正群 SU(n) 辛群 Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 勞侖茲群 龐加萊群 無限維群 共形群 微分同胚群 環路群 量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞) 代數群 橢圓曲線 線性代數群（英語：Linear algebraic group） 阿貝爾簇（英語：Abelian variety）
閱 論 編

中心化子和正規化子都是 ${\displaystyle G}$ 的子群。它們分別給出對 ${\displaystyle S}$ 的元素和 ${\displaystyle S}$ 整體的限制。對某些子集 ${\displaystyle S}$ ，這些子群能夠給出關於群 ${\displaystyle G}$ 結構的資訊。

定義

中心化子

令 ${\displaystyle G}$ 為一個群， ${\displaystyle S}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的一個子集，我們定義一個由 ${\displaystyle G}$ 中與每一個 ${\displaystyle S}$ 的元素 ${\displaystyle s}$ 可交換的元素組成的集合，記做 ${\displaystyle C_{G}(S)}$；換言之，

${\displaystyle C_{G}(S)=\{x\in G\mid \forall s\in S,xs=sx\}}$。

若 ${\displaystyle H}$ 為 ${\displaystyle G}$ 的子群且 ${\displaystyle S\subseteq H}$ ，則 ${\displaystyle C_{H}(S)=C_{G}(S)\cap H}$。

特別的，當 ${\displaystyle S}$ 為單元素集合 ${\displaystyle S=\{a\}}$ 時，我們會將其中心化子簡寫為 ${\displaystyle C_{G}(S)=C_{G}(a)}$。

群的中心

群 ${\displaystyle G}$ 的中心是 ${\displaystyle C_{G}(G)}$ ，通常記作 ${\displaystyle Z(G)}$ 。一個群的中心既是正規子群也是交換群，而且有很多其它重要屬性。我們可以將 ${\displaystyle a}$ 的中心化子視作 ${\displaystyle G}$ 中最大（用包含關係作為比較大小的依據）的子群 ${\displaystyle H}$ ，使得 ${\displaystyle a}$ 屬於其中心 ${\displaystyle Z(H)}$ 。

正規化子

${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle G}$ 中的正規化子記作 ${\displaystyle N_{G}(S)}$ 或 ${\displaystyle N(S)}$ 。正規化子定義為 ${\displaystyle N_{G}(S)=\{x\in G\mid xS=Sx\}}$ 。同樣的是， ${\displaystyle N_{G}(S)}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的子群。

正規化子得名於 ${\displaystyle N_{G}(\langle S\rangle )}$ 是 ${\displaystyle G}$ 中包含 ${\displaystyle \langle S\rangle }$ 且 ${\displaystyle \langle S\rangle }$ 為 ${\displaystyle N_{G}(\langle S\rangle )}$ 正規子群的最大子群，其中 ${\displaystyle \langle S\rangle }$ 是由 ${\displaystyle S}$ 生成的子群。

包括 ${\displaystyle \langle S\rangle }$ 且 ${\displaystyle \langle S\rangle }$ 為其正規子群的最小的 ${\displaystyle G}$ 的子群稱為共軛閉包。

如果 ${\displaystyle N_{G}(H)=H}$ ，則子群 ${\displaystyle H}$ 稱為 ${\displaystyle G}$ 的自正規化子群。

性質

若 ${\displaystyle G}$ 是交換群，則任何 ${\displaystyle G}$ 的子集的中心化子和正規化子都包含 ${\displaystyle G}$ 所有的元素；特別地，一個群可交換，當且僅當 ${\displaystyle Z(G)=G}$ 。

若 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的任意元素，則 ${\displaystyle a}$ 在 ${\displaystyle C_{G}(b)}$ 中當且僅當 ${\displaystyle b}$ 在 ${\displaystyle C_{G}(a)}$ 中，這又亦等價於 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 可交換（ ${\displaystyle ab=ba}$ ）。

若 ${\displaystyle S}$ 為單元素集合 ${\displaystyle S=\{a\}}$ ，則 ${\displaystyle N_{G}(S)=C_{G}(S)=C_{G}(a)}$。

${\displaystyle C_{G}(S)}$ 總是 ${\displaystyle N_{G}(S)}$ 的正規子群：若 ${\displaystyle c}$ 屬於 ${\displaystyle C_{G}(S)}$ 而 ${\displaystyle n}$ 屬於 ${\displaystyle N_{G}(S)}$ ，我們需要證明 ${\displaystyle n^{-1}cn}$ 屬於 ${\displaystyle C_{G}(S)}$ 。 為此，取 ${\displaystyle s}$ 屬於 ${\displaystyle S}$ 並令 ${\displaystyle t=nsn^{-1}}$ 。則 ${\displaystyle t}$ 屬於 ${\displaystyle S}$ ，所以 ${\displaystyle ct=tc}$ 。注意到 ${\displaystyle ns=tn}$ ；以及 ${\displaystyle n^{-1}t=sn^{-1}}$ 。我們有

${\displaystyle (n^{-1}cn)s=(n^{-1}c)tn=n^{-1}(tc)n=(sn^{-1})cn=s(n^{-1}cn)}$

這也就是要證明的命題。

更一般的，我們有 ${\displaystyle Z(G)\triangleleft C_{G}(S)\triangleleft N_{G}(S)\leq G}$。

若 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的子群，則 ${\displaystyle N/C}$ 定理表明因子群 ${\displaystyle N_{G}(H)/C_{G}(H)}$ 同構於 ${\displaystyle Aut(H)}$（${\displaystyle H}$ 的自同構群）的子群。

因為${\displaystyle N_{G}(G)=G}$，${\displaystyle N/C}$ 定理也意味着${\displaystyle G/Z(G)}$ 同構於 ${\displaystyle Inn(G)}$（由所有${\displaystyle G}$ 的內自同構組成的 ${\displaystyle Aut(G)}$ 的子群）。

如果我們通過 ${\displaystyle T_{x}(g)=xgx^{-1}}$ 定義群同態 ${\displaystyle T_{x}:G\to Inn(G)}$，則我們可以用${\displaystyle Inn(G)}$在${\displaystyle G}$上的群作用來表述${\displaystyle N_{G}(S)}$和${\displaystyle C_{G}(S)}$：${\displaystyle S}$在${\displaystyle Inn(G)}$中的定點子群就是${\displaystyle T_{x}(N_{G}(S))}$，而${\displaystyle Inn(G)}$中固定${\displaystyle S}$的子群就是${\displaystyle T_{x}(C_{G}(S))}$。

共軛類方程

主條目：共軛類 § 共軛類方程式

若 ${\displaystyle G}$ 為有限群，考慮 ${\displaystyle S}$ 共軛到自身的群作用，並應用軌道-穩定點定理，

G的核為${\displaystyle |\ker \rho |=|Z(G)|}$

G的軌道為${\displaystyle |G\cdot x_{i}|=|G:C_{G}(x_{i})|}$

類方程：

${\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{i}|G:C_{G}(x_{i})|}$