互斥集

在數學裏，若兩個集合沒有共同的元素，稱為互斥（disjoint）。例如${\displaystyle \{1,2,3\}}$和${\displaystyle \{4,5,6\}}$為互斥集（disjoint sets）。

兩個互不相交的集合（disjoint sets）。

解釋

從定義說，兩個集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$為互斥，若其交集為空集，即^[1]

${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$

此一定義可推廣至集族上。若然一個集族裏的任意兩個相異集合均為互斥，則稱之為兩兩互斥。

形式上，設${\displaystyle I}$為索引集，且對${\displaystyle I}$內的任一元素${\displaystyle i}$，設${\displaystyle A_{i}}$為一集合。然後${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$為兩兩互斥，當對任何於${\displaystyle I}$內的${\displaystyle i}$和${\displaystyle j}$且${\displaystyle i\neq j}$，有

${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$

舉例來說，${\displaystyle \{\{1\},\{2\},\{3\},\dots \}\}}$便為兩兩互斥。若${\displaystyle \{A_{i}\}}$為兩兩互斥，則${\displaystyle \{A_{i}\}}$中各集合的交集為空集：

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\varnothing }$

相反則不必為真：${\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}}$內各集合的交集為空集，但非兩兩互斥。事實上，其內的集合甚至沒有兩個是互斥集。

集合劃分${\displaystyle X}$是由一群兩兩互斥的非空集合${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$組成的集族。

${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

參考文獻

1. Halmos, P. R., Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer: 15, 1960 [2014-01-24], ISBN 9780387900926, （原始內容存檔於2017-03-15）.

另見

• 幾乎互斥集
• 互斥併
• 互斥集資料結構