均勻連續

均勻連續又稱一致連續，（英語：uniformly continuous），為數學分析的專有名詞，大致來講是描述對於函數 ${\displaystyle f(\cdot )}$ 我們只要在定義域中讓任意兩點 ${\displaystyle x}$ 跟 ${\displaystyle y}$ 越來越接近，我們就可以讓 ${\displaystyle f(x)}$ 跟 ${\displaystyle f(y)}$ 無限靠近，這跟一般的連續函數不同之處在於：${\displaystyle f(x)}$ 跟 ${\displaystyle f(y)}$ 之間的距離並不依賴 ${\displaystyle x}$ 跟 ${\displaystyle y}$ 的位置選擇。 均勻連續是比連續更苛刻的條件。一個函數在某度量空間上均勻連續，則其在此度量空間上必然連續，但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

設 ${\displaystyle (X,d_{1})}$ 和 ${\displaystyle (Y,d_{2})}$ 皆是度量空間，我們說函數 ${\displaystyle f:X\to Y}$ 均勻連續，這代表對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$，使得定義域中任意兩點 ${\displaystyle x,y}$ 只要 ${\displaystyle d_{1}(x,y)<\delta }$，就有 ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))<\epsilon }$。

當 ${\displaystyle X}$ 和${\displaystyle Y}$ 都是實數的子集合，${\displaystyle d_{1}}$ 和 ${\displaystyle d_{2}}$ 為絕對值 ${\displaystyle |\cdot |}$ 時，均勻連續的定義可表述為：如果對任意的 ${\displaystyle \epsilon >0}$，存在 ${\displaystyle \delta >0}$，使得對任意兩點 ${\displaystyle |x-y|<\delta }$，都有 ${\displaystyle |f(x)-f(y)|<\epsilon }$，則稱函數 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle X}$上均勻連續。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於：在均勻連續定義中，正數 ${\displaystyle \delta }$ 的選擇只依賴 ${\displaystyle \epsilon }$ 這變量，而不依賴定義域上點的位置。

均勻連續性定理

定理：

一個從緊緻度量空間到度量空間的連續函數是均勻連續的。

證明：

設函數${\displaystyle f:X\to Y}$，${\displaystyle (X,d_{1})}$為緊緻度量空間，${\displaystyle (Y,d_{2})}$為度量空間。

假設${\displaystyle f}$不是均勻連續的，則存在一個${\displaystyle \epsilon >0}$，對於任意${\displaystyle n}$都存在${\displaystyle x_{n},y_{n}}$滿足條件${\displaystyle d_{1}(x_{n},y_{n})<{\tfrac {1}{n}}}$並且${\displaystyle d_{2}(f(x_{n}),f(y_{n}))\geq \epsilon }$。

因為${\displaystyle X}$為緊緻度量空間，${\displaystyle X}$是序列緊緻的，所以存在一個${\displaystyle (x_{n})}$的收斂子序列${\displaystyle (x_{k_{n}})}$，設其收斂到${\displaystyle x}$。

${\displaystyle d_{1}(x_{k_{n}},y_{k_{n}})<{\tfrac {1}{k_{n}}}\leq {\tfrac {1}{n}}\to 0}$，所以${\displaystyle (y_{k_{n}})\to x}$。

因為${\displaystyle f}$連續，${\displaystyle \epsilon \leq d_{2}(f(x_{k_{n}}),f(y_{k_{n}}))\to d_{2}(f(x),f(x))=0}$，矛盾，定理得證。

均勻連續相比於連續是一個更強的結論。一般情況下，連續不意味着均勻連續。

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