對射

數學中，一個由集合${\displaystyle X}$映射至集合${\displaystyle Y}$的函數，若對每一在${\displaystyle Y}$內的${\displaystyle y}$，存在唯一一個在${\displaystyle X}$內的${\displaystyle x}$與其對應，且對每一在${\displaystyle X}$內的${\displaystyle x}$，存在唯一一個在${\displaystyle Y}$內的${\displaystyle y}$與其對應，則此函數為對射函數。

一個對射函數

換句話說，如果其為兩集合間的一一對應，則${\displaystyle f}$是對射的。即，同時為單射和滿射。

例如，由整數集合${\displaystyle \mathbb {Z} }$至${\displaystyle \mathbb {Z} }$的函數${\displaystyle \operatorname {succ} }$，其將每一個整數${\displaystyle x}$連結至整數${\displaystyle \operatorname {succ} (x)=x+1}$，這是一個對射函數；再看一個例子，函數${\displaystyle \operatorname {sumdif} }$，其將每一對實數${\displaystyle (x,y)}$連結至${\displaystyle \operatorname {sumdif} (x,y)=(x+y,x-y)}$，這也是個對射函數。

一對射函數亦簡稱為對射（英語：bijection）或置換。後者一般較常使用在${\displaystyle X=Y}$時。以由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的所有對射組成的集合標記為${\displaystyle X\leftrightarrow Y}$。

對射函數在許多數學領域扮演着很基本的角色，如在同構的定義（以及如同胚和微分同構等相關概念）、置換群、投影映射及許多其他概念的基本上。

複合函數與反函數

一函數${\displaystyle f}$為對射的當且僅當其逆關係${\displaystyle f^{-1}}$也是個函數。在這情況，${\displaystyle f^{-1}}$也會是對射函數。

兩個對射函數${\displaystyle f:X\leftrightarrow Y}$及${\displaystyle g:Y\leftrightarrow Z}$的複合函數${\displaystyle g\circ f}$亦為對射函數。其反函數為${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=(f^{-1})\circ (g^{-1})}$。

一個複合所得的對射，左側為單射，右側為滿射。

另一方面，若${\displaystyle g\circ f}$為對射的，可知${\displaystyle f}$是單射的且${\displaystyle g}$是滿射的，但也僅限於此。

一由${\displaystyle X}$至${\displaystyle Y}$的關係${\displaystyle f}$為對射函數當且僅當存在另一由${\displaystyle Y}$至${\displaystyle X}$的關係${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle g\circ f}$為${\displaystyle X}$上的恆等函數，且${\displaystyle f\circ g}$為${\displaystyle Y}$上的恆等函數。必然地，此兩個集合會有相同的勢。

對射與勢

若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$為有限集合，則其存在一兩集合的對射函數當且僅當兩個集合有相同的元素個數。確實，在公理集合論裏，這正是「相同元素個數」的定義，且廣義化至無限集合，並導致了基數的概念，用以分辨無限集合的不同大小。

例子與反例

• 對任一集合${\displaystyle X}$，其恆等函數為對射函數。
• 函數${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式為${\displaystyle f(x)=2x+1}$，是對射的，因為對任一${\displaystyle y}$，存在一唯一${\displaystyle x=(y-1)/2}$使得${\displaystyle f(x)=y}$。
• 指數函數${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$，其形式為${\displaystyle g(x)=e^{x}}$，不是對射的：因為不存在一${\displaystyle \mathbb {R} }$內的${\displaystyle x}$使得${\displaystyle g(x)=-1}$，故${\displaystyle g}$非為對射。但若其對應域改成正實數${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=(0,+\infty )}$，則${\displaystyle g}$便是對射的了；其反函數為自然對數函數${\displaystyle \ln }$。
• 函數${\displaystyle h}$ : ${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )}$，其形式為${\displaystyle h(x)=x^{2}}$，不是對射的：因為${\displaystyle h(-1)=h(1)=1}$，故${\displaystyle h}$非為對射。但如果把定義域也改成${\displaystyle [0,+\infty )}$，則${\displaystyle h}$便是對射的了；其反函數為正平方根函數。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x}$不是對射函數，因為${\displaystyle -1,0}$和${\displaystyle 1}$都在其定義域裏且都映射至${\displaystyle 0}$。
• ${\displaystyle \mathbb {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x)}$不是對射函數，因為${\displaystyle \pi /3}$和2${\displaystyle \pi /3}$都在其定義域裏且都映射至${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$。

性質

• 一由實數${\displaystyle \mathbb {R} }$至${\displaystyle \mathbb {R} }$的函數${\displaystyle f}$是對射的，當且僅當其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
• 設${\displaystyle X}$為一集合，則由${\displaystyle X}$至其本身的對射函數，加上其複合函數「${\displaystyle \circ }$」的運算，會形成一個群，即為${\displaystyle X}$的對稱群，其標記為${\displaystyle {\mathfrak {S}}(X)}$、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$或${\displaystyle X!}$。
• 取一定義域的子集${\displaystyle A}$及一對應域的子集${\displaystyle B}$，則

${\displaystyle |f(A)|=|A|}$且${\displaystyle |f^{-1}(B)|=|B|}$。

• 若${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$為具相同勢的有限集合，且${\displaystyle f:X\to Y}$，則下列三種說法是等價的：

1. ${\displaystyle f}$為一對射函數。
2. ${\displaystyle f}$為一滿射函數。
3. ${\displaystyle f}$為一單射函數。

• 一個嚴格的單調函數是對射函數，但對射函數不一定是單調函數（例如${\displaystyle y=x^{-3}}$）。

對射與範疇論

形式上，對射函數恰好是集合範疇內的同構。

另見

• 等勢
• 單射
• 同構
• 置換
• 對稱群
• 滿射
• 對射計數法
• 水平線測試

參考文獻

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外部連結

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• 埃里克·韋斯坦因. Bijection. MathWorld.
• Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）