恩布里-特雷費森常數

在數論中，恩布里-特雷費森常數（Embree-Trefethen constant）是一個和隨機費波那西數列有關的閾值，符號為${\displaystyle \beta ^{*}}$，其近似值為0.70258（OEIS數列A118288）。

針對一固定的正數${\displaystyle \beta }$，考慮以下的遞迴關係式

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,}$

遞迴關係式中的正負號部份是隨機決定，相加及相減的概率各是一半。

可證明對於任何的${\displaystyle \beta }$，以下極限

${\displaystyle \sigma (\beta )=\lim _{n\to \infty }(|x_{n}|^{1/n})\,}$

幾乎必然存在。也就是說，數列表現類似指數的概率為1。

可得以下的式子

在${\displaystyle 0<\beta <\beta ^{*}=0.70258}$（近似值）時，${\displaystyle \sigma <1}$,

因此當${\displaystyle n\rightarrow \infty }$時，數列以指數形式遞減的概率為1

在${\displaystyle \beta >\beta ^{*}}$時，${\displaystyle \sigma >1}$,

因此數列以指數形式成長

有關${\displaystyle \sigma }$的數值，可得：

• ${\displaystyle \sigma (1)=1.131\ 988\ 24\ldots }$（Viswanath常數）及
• ${\displaystyle \sigma (\beta ^{*})=1}$.

此常數的命名是來自應用數學家馬克·恩布里（英語：Mark Embree）及勞埃德·尼古拉斯·特雷費森（英語：Lloyd Nicholas Trefethen）。

參考資料

• Embree, M.; Trefethen, L. N., Growth and decay of random Fibonacci sequences, Proceedings of the Royal Society, 1999, 455 (455): 2471–2485, doi:10.1098/rspa.1999.0412 [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Random Fibonacci Sequence. MathWorld.