1-形式

在線性代數中，1-形式（one-form）是向量空間上的一種線性泛函。1-形式在這種向量空間語境中的使用方式，通常區別於高階的多重線性泛函中的1-形式。細節參見線性泛函。

在三維歐幾里得空間裏，1-形式 α、 β 與它們的和是線性泛函，向量 u、 v與 w也是線性泛函。任意向量穿插過的任意1-形式超平面等於兩者的內積。^[1]

在微分幾何中，可微流形上的1-形式是餘切叢的一個光滑截面。具體說來，流形 M 上的1-形式是M 的切叢的全空間到 R 的一個光滑映射，限制在每個纖維上是切空間上的線性泛函。用符號表示，

${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbf {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbf {R} },\,}$

這裏 α_x 是線性的。

1-形式經常局部地描述，特別是在一個局部坐標中。在一個局部坐標系中，1-形式是坐標的微分的線性組合：

${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)dx^{1}+f_{2}(x)dx^{2}+\dots +f_{n}(x)dx^{n}.\,}$

這裏 f_i 是光滑函數。注意這裏使用上指標，不要與冪混淆。從這種觀點來看，一個 1-形式從一個坐標系變到另一個時有共變變換法則。從而一個 1-形式是秩 1 共變張量場。

特例

設 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$ 爲一開集（譬如一個區間 ${\displaystyle (a,b)}$），考慮可微函數 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$，具有導數 f'。f 的微分 df，在一點 ${\displaystyle x_{0}\in U}$，定義為變量 dx 的某個線性映射。具體地，${\displaystyle df(x_{0},dx):dx\mapsto f'(x_{0})dx}$。（從而符號 dx 的含義揭示出來了：它不過是 df 的一個參數，或獨立變量。）故映射 ${\displaystyle x\mapsto df(x,\cdot )}$ 將每個點 x 送到一個線性泛函 ${\displaystyle df(x,\cdot )}$。這是微分（1-）形式最簡單的例子。

用德拉姆復形表示，從 0-形式（數量函數）到 1-形式有一個映射，即 ${\displaystyle f\mapsto df}$。

一個 1-形式稱為閉 1-形式如果它是可微的且它的外導數在任何地方等於 0。

另見

• 2-形式
• 倒晶格
• 張量的中間處理

參考文獻

1. J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne. Gravitation. W.H. Freeman & Co. 1973: 57. ISBN 0-7167-0344-0.