在幾何學中,黑塞二十七面體(Hessian polyhedron)是一個複正多面體,其位於複希爾伯特空間中由27個莫比烏斯-坎特八邊形組成[1],共有27個面、72條三元邊[註 1]和27個頂點,是一個自身對偶的多面體[註 2][2],其可以視為實數空間的四面體在複數空間中的類比[3]。
由於這種形狀與黑塞排佈共享複排佈結構,即12條線上有9個點,每條線上有3個點,每個點上有4條線,因此考克斯特將這種形狀以路德維希·奧托·黑塞的名字命名。[5]
黑塞二十七面體是一種位於複數空間的立體,其對應到實數空間同樣也有一種實數空間的代表,其為221多胞體,考克斯特表示法計為,其在六維空間中[1]與黑塞二十七面體共用其27個頂點,其216條邊可透過將三元邊3{}替換成3條簡單邊即可於221中被觀察到。[6]
性質
黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯-坎特八邊形組成[1],共有27個面、72條邊和27個頂點[2],其72條邊皆為三元邊,每個邊皆連接了3個頂點[7];其27個頂點中,每個頂點皆為8個莫比烏斯-坎特八邊形的公共頂點,即頂點圖為莫比烏斯-坎特八邊形,換句話說即黑塞二十七面體是一個自身對偶多面體。[註 2][2]
其複鏡像群為3[3]3[3]3或對稱性,階數為648階[1],這種對稱性又可以稱為黑塞群。其在每個頂點有27個副本,階數為24階,其有24個三階反射對稱性。其考克斯特數為12,且具有基本不變量3,6和12的度數,其可以在多面體的投影對稱性中被觀察到。[6]
對於λ, μ = 0,1,2,黑塞二十七面體的27個頂點可以在三維的複數空間中給出:[8]
- (0,ωλ,−ωμ)
- (−ωμ,0,ωλ)
- (ωλ,−ωμ,0)
其中.
黑塞二十七面體由27個全等的莫比烏斯-坎特八邊形組成[1]。莫比烏斯-坎特八邊形是一種由8個頂點和8條稜所組成的幾何結構,其在施萊夫利符號中可以用3{3}3來表示、在考克斯特記號中可以用來表示。與一般的八邊形不同,莫比烏斯-坎特八邊形位於複希爾伯特平面,且構成這種形狀的稜每個稜階連接了三個頂點,稱為三元稜或三元邊(Trion),這種幾何結構在施萊夫利符號中可以用3{}來表示。[9]
考克斯特平面 | B4 | F4 | |
---|---|---|---|
圖 | |||
對稱性 | [8] | [12/3] |
正交投影
黑塞二十七面體有8種具有特殊對稱性的正交投影。其中重合的頂點以不同顏色表示,其72個三元邊被繪製為3條一般的邊。其中,第一種代表了E6的考克斯特平面[1]。
用途
部分研究中,此形狀用於表示標準模型中一些基本粒子的關係[10]。
相關多面體及其他幾何結構
以亞歷山大·威廷命名的複空間四維正多胞體——威廷二百四十胞體是一種由240個黑塞二十七面體所組成的四維正多胞體,其胞和頂點圖皆為黑塞二十七面體。[11]
參見
註釋
參考文獻
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