魏爾施特拉斯函數

數學中，魏爾施特拉斯函數（Weierstrass function）是一類處處連續而處處不可導的實值病態函數^[1]，得名於十九世紀的德國數學家卡爾·魏爾施特拉斯^[2]。

區間 [−2, 2] 上的魏爾施特拉斯函數。這個函數具有分形特性：某些部分會和整體自相似

歷史上，魏爾施特拉斯函數是一個著名的數學反例。此前，對於函數的連續性，數學家的認識並不深刻。許多數學家認為除了少數一些特殊的點以外，連續的函數曲線在每一點上總有切線斜率。魏爾施特拉斯函數表明了所謂的「病態」函數的存在性，改變了當時數學家對連續函數的看法^[3]。

構造

魏爾施特拉斯的原作中給出的構造是：

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$,

其中${\displaystyle 0<a<1}$，${\displaystyle b}$為正的奇數，使得：

${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$

這個函數以及它處處連續而又處處不可導的證明首次出現在魏爾施特拉斯於1872年7月18日在普魯士科學院出版的一篇論文中。

證明這個函數處處連續並不困難。由於無窮級數的每一個函數項${\displaystyle a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$的絕對值都小於常數${\displaystyle a^{n}}$，而正項級數${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a^{n}}$是收斂的。由比較審斂法可以知道原級數均勻收斂。因此，由於每一個函數項${\displaystyle a^{n}\cos(b^{n}\pi x)}$都是${\displaystyle {\mathbb {R} }}$上的連續函數，級數和${\displaystyle f(x)}$也是${\displaystyle {\mathbb {R} }}$上的連續函數。

下面證明函數處處不可導：對一個給定的點${\displaystyle x\in {\mathbb {R} }}$，證明的思路是找出趨於${\displaystyle x}$的兩組不同的數列${\displaystyle (x_{n})}$和${\displaystyle (x'_{n})}$，使得

${\displaystyle \lim \inf {\frac {f(x_{n})-f(x)}{x_{n}-x}}>\lim \sup {\frac {f(x'_{n})-f(x)}{x'_{n}-x}}.}$

這與函數可導的定義矛盾，於是證明完畢。

一般人會直覺上認為連續的函數必然是近乎可導的。即使不可導，所謂不可導的點也必然只佔整體的一小部分。根據魏爾施特拉斯在他的論文中所描述，早期的許多數學家，包括高斯，都曾經假定連續函數不可導的部分是有限或可數的。這可能是因為直觀上想像一個連續但在不可數個點上不可導的函數是很困難的事。當我們繪製函數的圖像時，總會畫出較為規則的圖形，例如滿足利普希茨條件的函數圖像。

魏爾施特拉斯函數可以被視為第一個分形函數，儘管這個名詞當時還不存在。將魏爾施特拉斯函數在任一點放大，所得到的局部圖都和整體圖形相似。因此，無論如何放大，函數圖像都不會顯得更加光滑，也不存在單調的區間。

處處不可導函數的稠密性

分析學的成果表明，魏爾施特拉斯函數並不是連續函數中的少數幾個特例之一。儘管它是「病態」函數的一種，但可以證明，這種病態的函數事實上不在「少數」，甚至比那些「規則」的函數「多得多」。

• 在拓撲學意義上：在從[0,1]區間射到實數上的連續函數空間C([0, 1]; R)中，處處不可導的函數的集合是稠密的（關於均勻範數的拓撲）。
• 在測度論意義上：在配備了經典維納測度γ的連續函數空間C([0, 1]; R)中，至少有一處可導的函數所構成的集合的測度是0，也就是說和處處不可導的函數相比是可以「忽略」的。

參考資料

• B.R. Gelbaum、J.M.H. Olmstead,《分析學的反例》（Counterexamples in Analysis）, Holden Day Publisher (June 1964).
• Karl Weierstrass, Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen, Collected works; English translation: On continuous functions of a real argument that do not have a well-defined differential quotient, in: G.A. Edgar, Classics on Fractals, Addison-Wesley Publishing Company, 1993, 3-9.
• G.H. Hardy,《魏爾施特拉斯不可導函數》（Weierstrass's nondifferentiable function）, Trans. Amer. Math. Soc., 17(1916), 301-325.
• K. Falconer,《分形的幾何》（The Geometry of Fractal Sets）, Oxford (1984).
• Johan Thim. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis Lulea Univ of Technology 2003. [28 July 2006]. （原始內容存檔於2017-02-22）.

註釋

1. André Brouty. Les fonctions continues sans dérivées. [2009-11-25]. （原始內容存檔於2021-05-03）.
2. Denis Nicoletti. Properties of the Weierstrass Function in the Time and Frequency Domains (PDF). [2009-11-25]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-03-27）.
3. Cette plaie lamentable. UJF Grenoble, 2007. [2009-11-25]. （原始內容存檔於2019-04-01）.

外部連結

• （英文）MathWorld上有關外爾斯特拉斯函數的資料 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），介紹了一個與外爾斯特拉斯函數不一樣但同樣是處處不可導的連續函數。
• （英文）處處不可導的連續函數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• （英文）處處不單調的連續函數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）使用貝爾範疇定理的一個證明。

• 複數平面上的外爾斯特拉斯函數 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）以及分形展示。