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雙曲幾何
非歐幾里德幾何的一種特例 / 維基百科,自由的 encyclopedia
雙曲幾何又名羅氏幾何(羅巴切夫斯基幾何),是非歐幾里德幾何的一種特例。與歐幾里德幾何的差別在於第五條公理(公設)-平行公設。在歐幾里德幾何中,若平面上有一條直線R和線外的一點P,則存在唯一的一條線滿足通過P點且不與R相交(即R的平行線)。但在雙曲幾何中,至少可以找到兩條相異的直線,且都通過P點,並不與R相交,因此它違反了平行公設。然而,取代歐幾里德幾何中的平行公設的雙曲幾何本身並無矛盾之處,仍可以推得一系列屬於它的定理,這也說明了平行公設獨立於前四條公設,換句話說,無法由前四條公設推得平行公設。
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到目前為止,數學家對雙曲幾何中平行線的定義尚未有共識,不同的作者會給予不同的定義。這裏定義兩條逐漸靠近的線為漸近線,它們互相漸進;兩條有共同垂直線的線為超平行線,它們互相超平行,並且兩條線為平行線代表它們互相漸進或互相超平行。雙曲幾何還有一項性質,就是三角形的內角和小於一個平角(180°)。在極端的情況,三角形的三邊長趨近於無限,而三內角趨近於0°,此時該三角形稱作理想三角形。
雙曲幾何專門研究當平面變成鞍馬型之後,平面幾何到底還有哪些可以適用,以及會有甚麼特別的現象產生。在雙曲幾何的環境裏,平面的曲率是負數。