阻力方程

阻力方程是流體力學中計算一物體在流體中運動，所受到阻力的方程式。

此方程式是由瑞利勛爵所提出，其方程式如下：

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A}$

其中

F_D為阻力，是施力平行流場方向的分量^{[註 1]}.

ρ為流體密度^{[註 2]}

v 是流體相對物體的速度.

A 為參考面積.

C_D 為阻力系數，是一個無因次的系數，像汽車的阻力系數約在0.25到0.45之間.

參考面積A一般定義為物體在運動方向上的正交投影面積。對於形狀簡單，沒有空洞的物體（例如球），參考面即為截面。若是其他物體（例如自行車騎士的身體），A可能比任何一個截面都要大。翼形就用翼弦的平方為參考面積。由於翼弦長常定義為1，因此參考面積也是1。飛機的阻力常和其升力相比較，因此常用機翼面積（或轉子葉片面積）作為其參考面。飛艇及旋轉體使用體積阻力系數，其參考面積為其體積立方根的平方。有時一物體為了和其他物體比較阻力系數，會使用不同的參考面積，此時需特別標示所使用的參考面積。

對有尖角的物體，例如長方柱或是垂直流體方向的圓盤，在雷諾數大於1000時可以將阻力系數視為一定值^[1]。但若是圓滑的物體，例如圓柱，阻力系數會隨着雷諾數有明顯的變化，甚至到雷諾數到達10⁷也是如此^[2]。

討論

阻力方程是立基在一個假設的理想情形下：所有流體衝撞物體的參考面後停止，因此在整個參考面上產生滯止壓強。實際的物體不可能完全符合此現象，而阻力系數C_D就是真實物體所受阻力相對於理想情形阻力的比例。一般而言較粗糙。非流線性的物體其C_D接近1。較平滑的物體C_D數值較低。阻力方程提供了阻力系數C_D的定義，此系數會隨雷諾數而變化，實際的數值需要利用實驗來求得。

若不考慮阻力系數的變化，阻力和流體速度的平方成正比，若速度變成原來的二倍，不但衝撞物體的流體速度加倍，單位時間內衝撞物體的流體質量也加倍，因此單位時間內的動量變化（及阻力）都變成原來的四倍。此現象和固體和固體之間的摩擦力不同，速度變化時，摩擦力不會有明顯的改變。

推導

阻力方程可以由因次分析推導而得。假設一運動中的流體碰撞一物體，流體會對物體施力，根據一個複雜（且未完全了解）的定律，可以假設以下變數之間存在某種關係：

• 速度 u,
• 流體密度 ρ,
• 流體的動黏滯系數 ν
• 物體的大小，以其迎風面積A表示
• 阻力 F_D

利用白金漢π定理，可以將上述的5個變數簡化為以下的二個變數：

• 阻力系數 C_D
• 雷諾數 R_e

若考慮原來的5個變數，可以得到以下的式子

${\displaystyle f_{a}(F_{D},\,u,\,A,\,\rho ,\,\nu )\,=\,0.\,}$

上式並未假設阻力和其他變數之間有一對一的函數對應關係。而上式中的f_a是某個未知的，有五個變數的函數。由於方程式的右側是0，和使用的單位系統無關，因此應該可以將f_a用無量綱來表示。

將上述五個變數組合成無量綱的方式有許多種，不過根據白金漢π定理，最後會有二個無量綱。最合適的是雷諾數

${\displaystyle R_{e}\,=\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}}$

及阻力系數

${\displaystyle C_{D}\,=\,{\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}.}$

因此上述五個變數的函數可以用另一個只有二個變數的函數來表示：

${\displaystyle f_{b}\left({\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}},\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\,=\,0.}$

其中f_b為某個只有二個變數的函數。因此原始的方程式變成只有二個變數的方程式

由於其中唯一的未知數為阻力F_D，其型式可能如下

${\displaystyle {\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}\,=\,f_{c}\left({\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)}$

或

${\displaystyle F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}\,f_{c}(R_{e}),\,}$     及     ${\displaystyle C_{D}\,=\,f_{c}(R_{e}).}$

因此阻力可表示成 ½ ρ A u² 乘以某個自變數為雷諾數R_e的未知函數，此型式較原來五個變數的函數要簡單許多。

透過因次分析將原本複雜的問題（要找出有五個變數的函數）變成一個較簡單的問題：決定阻力和雷諾數之間的函數關係。

因次分析也提供一些額外的資訊，例如在其他條件不變時，阻力和流體密度成正比，此資訊在進行研究的初期尤其寶貴。若要研究阻力和雷諾數之間的關係，可以不用用大型的物體在高速流體下進行實驗（例如用真實尺寸的飛機進行風洞實驗），只要用較小的物體，在黏滯度更大，速度更快的流體中進行實驗即可，因為這二個系統為相似（英語：Similitude (model)）的。

註釋

1. 施力垂直流場方向的分量可能有升力及渦激振動（英語：vortex induced vibration）.
2. 若在地球大氣層中，空氣密度可以用壓高公式（英語：barometric formula）計算. 在0°C，一大氣壓條件下密度為1.293 kg/m³.

參考文獻

引用

1. Drag Force 互聯網檔案館的存檔，存檔日期2008-04-14.
2. See Batchelor (1967), p. 341.

來源

書籍

• Batchelor, G. K. An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press. 1967. ISBN 0521663962.
• Huntley, H. E. Dimensional Analysis. Dover. 1967. LOC 67-17978.

參見

• 物理主題

• 攻角
• 阻力
• 莫里森方程（英語：Morison equation）
• 失速
• 終端速度