在數學,特別是向量分析與微分拓撲中,一個閉形式
是微分算子
的核,即
的微分形式;而恰當形式(恰當微分形式)
是微分算子
的像,即存在某個微分形式
使得
,
稱為關於
的一個「本原」。
因為
,所以恰當形式一定是閉形式,但閉形式是否為恰當形式並不顯然。考慮一個閉形式是不是恰當的,可由不同的條件檢測拓撲信息來得知。問一個 0-形式是否恰當沒有意義,因為
將階數提高 1,不過可以規定恰當 0-形式就是零函數。
當兩個閉形式的差是一個恰當形式時,稱它們為相互上同調的。這便是說,如果
與
是閉形式,且存在某個
使得
![{\displaystyle \zeta -\eta =d\beta \ ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2de6ae9d0982a393ef5b1b0db2a11087ec87ac0c)
則我們說
與
是互相上同調的。恰當形式經常稱為上同調於零。相互上同調的形式的集合組成了一個德拉姆上同調類中的一個元素;對這樣的類作一般性研究稱為上同調理論。
與
上的微分形式已經為十九世紀的數學物理所熟知。在平面上,0-形式就是函數,2-形式是函數乘以基本面積元
,故只有 1-形式
![{\displaystyle \alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f76d2d7f5d7e183f54dcaaaf192046ac96b0c8)
具有真正的意義,其外導數
是
![{\displaystyle d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa61265dcd2d43901841e6ebfc1f8dbe581f236b)
這裏下標表示偏導數。從而
「閉」的條件是
![{\displaystyle f_{y}=g_{x}\ .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46687fc6931bb70f828590027f7b61e4a61872ad)
當
是一個函數時則
![{\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb27095031b5250dce597fd015bf6be91f3b916)
「恰當形式是閉形式」便是關於 x 與 y 二階導數的對稱性的一個推論,這可以直接推廣到高維情形。
在
上,恰當 1-形式相當於有勢場(保守場),閉 1-形式相當於無旋場。故「恰當形式是閉形式」用向量分析的語言來說相當於有勢場一定是無旋場。