重現期

重現期，或稱重現期距^[1]，是指大於等於某強度^[2]的洪水、地震、山崩、乾旱等自然災害發生的平均時間間隔，通常基於歷史數據資料，經過統計分析得出。重現期除了可以表示自然災害出現的頻率，也可以用來衡量自然災害的量級^[3]。

「T年洪水」（英語：T-year flood）實際上是指洪水的重現期為T年，亦即在較長的時間跨度下每年發生的概率是1/T。T年洪水也常被稱作「T年一遇的洪水」，但這種稱呼是否合適存在爭議。

概率含義

一個災害的重現期為T年，並不表示每T年必然會發生一次，而是表示在很長的一段時間內，這個災害每年的發生率是1/T，如重現期為100年的災害即是指每年發生的概率是1%^[3]，但兩次發生之間間隔的年份可能相差很大。

泊松分佈

通常認為超定量的自然災害服從泊松分佈^[4]。其概率密度函數如下：

${\displaystyle P_{t}(X=r)={(\mu t)^{r} \over r!}e^{-\mu t}={(t/T)^{r} \over r!}e^{-t/T}}$，

其中${\displaystyle r}$是事件發生的次數，${\displaystyle t}$是給定的時間段，${\displaystyle T}$是重現期，${\displaystyle \mu =1/T}$ 是事件發生概率。

在給定時間段${\displaystyle t}$內，事件一次都不發生的概率可將${\displaystyle r=0}$代入上式得出

${\displaystyle P_{t}(X=0)=e^{-t/T}}$，

從而事件發生一次的概率為

${\displaystyle P_{t}(X\geq 1)=1-P_{t}(X=0)=1-e^{-t/T}}$。

值得注意的是，將${\displaystyle t=T}$代入上式可得，對於重現期為T年的事件，在T年內發生至少一次的概率為

${\displaystyle 1-\exp(-1)\approx 63.2\%}$。

而泊松分佈的期望值是

${\displaystyle E[P_{t}(r)]=t/T}$，

代入${\displaystyle t=T}$即可得對於重現期為T年的事件，在T年內發生次數的期望值為1。

二項分佈

也可以使用二項分佈進行估計^[5]，其概率密度函數如下：

${\displaystyle P(X=r)={t \choose r}\mu ^{r}(1-\mu )^{t-r}={t \choose r}(1/T)^{r}(1-1/T)^{t-r}}$，

其中${\displaystyle r}$是事件發生的次數，${\displaystyle t}$是給定的時間段，${\displaystyle T}$是重現期，${\displaystyle \mu =1/T}$ 是事件發生概率。但須注意到，當${\displaystyle T}$較大時，${\displaystyle \mu }$較小，事件概率較低。若此時給定的年數${\displaystyle t}$也很大時，二項分佈實際近似一個參數為${\displaystyle t/T}$的泊松分佈。因此用上式計算出的「百年」事件在100年內至少發生一次的概率會和用泊松分佈算出的結果十分接近。

直接計算也可得${\displaystyle t}$時間內事件發生一次的概率為

${\displaystyle P_{t}(X\geq 1)=1-P_{t}(X=0)=1-(1-1/T)^{t}}$，

在T和t都較大時，上式可近似為泊松分佈的結果${\displaystyle 1-e^{-t/T}}$。

同樣，二項分佈的期望值為${\displaystyle t/T}$，表明重現期為T年的事件在T年內發生次數的期望值為1。

1501-2013年德國帕紹段多瑙河洪水記錄，洪峰高度超過對應虛線的為50年或100年洪水

實例

德國帕紹段多瑙河自1501年至2013年的洪水歷史記錄表明兩次同量級的洪水實際發生的時間間隔波動相當大^[6]。自1501年至2013年，50年洪水的重現期最短4年，最長192年，僅有半數重現期落在誤差50%以內的25年至75年區間內。類似地，自1955年至2007年，5年洪水重現期最短僅5個月，最長則為16年，同樣僅有半數重現期落在2.5年至7.5年區間內。

建模計算

重現期主要根據時間比較長的歷史記錄來推算。但很多地區的統計數據涵蓋年限不足以涵蓋百年甚至千年（如中國大陸大多數城市在20世紀50年代才有氣象數據），也難以剔除偶然項，故一般採用統計建模的方式推算重現期^[2]。常用的概率分佈有皮爾森第三型分佈（英語：Pearson_distribution#The_Pearson_type_III_distribution）、甘別分佈、指數分佈、韋伯分佈等^[7]。

「T年一遇」的爭議

參見：百年洪水 § 「N年一遇」的爭議

中國中央氣象台首席預報員陳濤回應「鄭州暴雨千年一遇」的說法時，介紹說「千年一遇」是指科學上的重現期，重現期靠推算得出，僅表示數學上的概率，在沒有可靠有效的長時記錄之前，很難談論「千年一遇」^[8]。也有媒體質疑稱「千年一遇」可能是一種將災難無限放大從而逃避責任的託詞^[9]。另外還有媒體表示使用「T年一遇」的人士本意是為了凸顯事件的嚴重程度，但因為對「T年一遇」的誤解會將事件等級進一步誇大^[5]。

工程應用

重現期除了可以描述自然災害發生概率外，還可以反映自然災害的強度。在工程建設、城市規劃中也常以重現期推算出的強度來制定設計標準。如三峽工程中宜昌站不同重現期的洪水流量：十年洪水流量為56,700立方米／秒，二十年洪水流量為72,300立方米／秒，百年洪水流量為83,700立方米／秒，千年洪水流量為98,800立方米／秒，萬年洪水流量為113,000立方米／秒，可能最大洪水的洪水流量為120,000～127,000立方米／秒^[10]，工程的設計標準可正常應對千年洪水；校核標準可抵禦萬年洪水再加10％；行洪防洪能力方面，在百年洪水面前，還可以保護下遊河段的安全^[11]。

參考文獻

1. 張沄真. 100年洪水有多大？—淺談重現期距在防災上的應用. 高瞻自然科學教學資源平台. 國立臺灣大學. 2015-03-16 [2021-07-27]. （原始內容存檔於2015-03-23）.
2. 吳斯旻; 邵海鵬. 暴雨“千年一遇”是怎么认定的？市政规划专家给了个算法. 第一財經. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-07-25）. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
3. 科技日報. 专家告诉你， “百年一遇”的洪水为啥老能遇到. 新華網. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2020-08-05）.
4. 顏亦奇; 易建軍, 孫華安. 泊松分布在水文频率计算中的应用. 人民長江. 2010, 41 (12). ISSN 1001-4179. doi:10.3969/j.issn.1001-4179.2010.12.024. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
5. 徐雪晴, 蔣馨爾, 衛瑤. “千年一遇”，不等于1000年才发生一次. 澎湃新聞. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-07-24）.
6. Eychaner, J. H. Lessons from a 500-year record of flood elevations (PDF) (報告). Technical Report 7. Association of State Floodplain Managers: 25 pp. 2015. （原始內容 (PDF)存檔於2015-06-27）.
7. 顧駿強, 陳海燕, 徐集雲. 瑞安市暴雨强度概率分布公式参数估计研究. 應用氣象學報. 2000, 11 (3): 355–363 [2021-07-24]. ISSN 1001-7313. （原始內容存檔於2021-07-25）.
8. 郑州暴雨是“千年一遇”吗？中央气象台回应. 環球網. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2022-03-06）.
9. 羊城晚報. 请拿出“千年一遇”的证据. 新浪. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-07-24）.
10. 三峡工程防洪效益的误解与正读. CNTV. 2010-08-03. （原始內容存檔於2013-01-01）.
11. 三峡工程师回应大坝防洪能力质疑. 鳳凰新聞. 2010-07-22 [2010-07-22]. （原始內容存檔於2010-07-25）.