在數學裏,特別是在變分法裏,變分法基本引理(fundamental lemma of calculus of variations)是一種專門用來變換問題表述的引理,可以將問題從弱版表述(weak formulation)(變分形式)改變為強版表述(微分形式)。
代表
階導數連續(
階光滑)的函數空間,
代表無限光滑的函數空間。
變分法基本引理:
設
若任意
滿足
成立
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,h(x)\,dx=0\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1694dda529e8a5a44155ae05b63151073b24c987)
則
。
設
且
,
因為只要存在一個不滿足
的
,就可以證明
,因此我們只須證明其中一個特例。
令
滿足下列兩個條件:
;
;
並且令
。
由
可得到
。
因為
在
是正值,所以
必須恆等於 0 ,與假設
矛盾。
故
。
這引理可用來證明泛函
![{\displaystyle J[f(t,y,{\dot {y}})]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}f(t,y,{\dot {y}})\,dt\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/157c8bd2dcbff21d9b2306b84114db5f44c71b97)
的極值是歐拉-拉格朗日方程式
![{\displaystyle {d \over dt}\left({\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial {\dot {y}}}\right)-{\partial f(t,y,{\dot {y}}) \over \partial y}=0\,\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2927cdb4179dca726a5244a690f83558713d18f)
的弱解。
歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。
- Leitmann, George. The Calculus of Variations and Optimal Control: An Introduction. Springer. 1981. ISBN 0306407078.