正則質數是一種質數,由恩斯特·庫默爾在1847年為了處理費馬最後定理而引入。它具有許多種等價的定義方式。其中之一是:
- 定義. 質數
是正則質數,當且僅當
不整除分圓體
的類數。此定義簡單卻不易計算。
未解決的數學問題:是否有無窮個正則質數,且其分佈密度為
![{\displaystyle e^{-1/2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a56ec5c5b26f80a643b22ec4ea800cafc69ae14)
?
另一種定義方式是:質數
是正則質數,當且僅當
不整除伯努利數
的分子。
頭幾個正則質數為:
- 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, ... (OEIS數列A007703)
庫默爾證明了:當
是正則質數時,
不存在非零整數解。最小的10個非正則質數是 37、59、67、101、103、131、149、157、233、257(OEIS數列A000928)。
已知存在無窮多個非正則質數,而迄今仍未知是否存在無窮多個正則質數。