蚌線

提示：此條目頁的主題不是合蚌線。

在平面幾何中，蚌線是一類曲線，可以由一條給定的曲線、一個定點和一個給定的長度來確定。更具體地說，過定點 ${\displaystyle O}$ 的動直線與給定曲線 ${\displaystyle c}$ 相交，動直線上滿足「與交點距離為定長 ${\displaystyle k}$ 」的點的軌跡定出的新曲線，就是原曲線 ${\displaystyle c}$ 關於極點 ${\displaystyle O}$ 和跡距 ${\displaystyle k}$ 的蚌線。^[1][2][3]

綠色為直線，黑色為直線外一點，所有紅色線段和藍色線段的長度均相等。紫色和橙色曲線是綠色直線關於黑色點的蚌線，紫色為內支，橙色為外支

極點和原直線不變、跡距不同的一系列蚌線

用解析幾何的方式來表述：平面曲線 ${\displaystyle c}$ 的極坐標方程為 ${\displaystyle \rho =f(\theta )}$ ，則以 ${\displaystyle \rho =f(\theta )\pm k}$ 為方程的曲線是 ${\displaystyle c}$ 關於原點的蚌線。^[4]

「蚌線」也常特指原曲線為直線的蚌線，即尼科美迪斯蚌線。^[5]尼科美迪斯（英語：Nicomedes (mathematician)）是古希臘數學家，他利用這種蚌線來解決古希臘數學三大難題中的兩個——三等分角和倍立方體。^[6]

尼科美迪斯蚌線

灰色為直線，黑色為蚌線的極點

  跡距小於極點與直線的距離，極點與內支分離

  跡距等於極點與直線的距離，極點是內支的尖點

  跡距大於極點與直線的距離，極點是內支的結點

性質

有定直線 ${\displaystyle l}$ 和直線外一固定點 ${\displaystyle O}$，過點 ${\displaystyle O}$ 的動直線與 ${\displaystyle l}$ 相交，動直線上滿足「與交點距離為定長」的點的軌跡，就是直線 ${\displaystyle l}$ 關於極點 ${\displaystyle O}$ 的蚌線 ${\displaystyle c}$ ，即尼科美迪斯蚌線。一條尼科美迪斯蚌線有內外兩支，兩支的漸近線都為 ${\displaystyle l}$ 。^[4][5]

通常記 ${\displaystyle l}$ 與點 ${\displaystyle O}$ 的距離為 ${\displaystyle a}$ ，跡距為 ${\displaystyle b}$。根據 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的關係，內支有三種不同形態：^[4]

• 當 ${\displaystyle b<a}$ 時，蚌線內支沒有尖點或結點，極點與內支不相交。
• 當 ${\displaystyle a=b}$ 時，蚌線內支有一個尖點，尖點與極點重合。
• 當 ${\displaystyle b>a}$ 時，蚌線內支有一個結點，結點與極點重合。

尼科美迪斯蚌線是軸對稱圖形，對稱軸與 ${\displaystyle l}$ 垂直並通過極點 ${\displaystyle O}$。^[3]

歷史和應用

尼科米迪斯發明的工具，用來繪製直線蚌線的外支

古希臘數學家尼科美迪斯（英語：Nicomedes (mathematician)）是最早研究蚌線的人。他發明了繪製直線之蚌線的工具，這是人們第一次用儀器繪製出直線和圓之外的幾何曲線。他關於蚌線的論著已經失傳，只有一部分通過帕普斯的《數學匯編》得以保存下來。帕普斯指出，存在「四種」蚌線，但只記錄了「第一種」蚌線，也就是直線蚌線的外支，用來解決尺規作圖三大難題中的兩個：三等分角和倍立方體。剩下的「三種」蚌線，很可能指的是直線蚌線內支的三種形態。^[7][6]

帕普斯將該曲線稱為「螺線」（κοχλοειδὴς γραμμή），這很可能是尼科美迪斯最初的叫法。後來的普羅克洛等人才改稱該曲線為「蚌線」（κογχοειδὴς γραμμή）。^[7]

17世紀的大數學家艾薩克·牛頓認為蚌線是僅次於直線和圓的、定義第三簡潔的曲線，並利用蚌線構造出多種三次平面曲線。但及至當代，蚌線變得很少被數學家研究和關注。^[8][9]

倍立方體

藉助蚌線作出長度為${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$的線段

作線段 ${\displaystyle AB=1}$ 。以點 ${\displaystyle A}$ 為圓心、${\displaystyle AB}$ 為半徑作圓，以點 ${\displaystyle B}$ 為圓心、${\displaystyle AB}$ 為半徑作圓，交於點 ${\displaystyle C}$ 。

過點 ${\displaystyle A}$ 作線段 ${\displaystyle AC}$ 的垂線 ${\displaystyle l}$。以點 ${\displaystyle C}$ 為極點、${\displaystyle AB}$ 為跡距作直線 ${\displaystyle l}$ 的蚌線外支。

延長 ${\displaystyle BA}$ 交蚌線於點 ${\displaystyle D}$ 。延長 ${\displaystyle AB}$ 交圓 ${\displaystyle B}$ 於點 ${\displaystyle E}$ 。連接 ${\displaystyle CD}$ 交 ${\displaystyle l}$ 於點 ${\displaystyle F}$ 。線段 ${\displaystyle CF}$ 的長度即為 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$ 。^[7]

代數證明

設 ${\displaystyle CF=x}$ 。顯然 ${\displaystyle x}$ 是正實數。 因為 ${\displaystyle \triangle AFC}$ 為直角三角形，所以 ${\displaystyle AF={\sqrt {CF^{2}-CA^{2}}}={\sqrt {x^{2}-1}}}$ 。 又因為 ${\displaystyle \triangle ADF\sim \triangle EDC}$ ，所以 ${\displaystyle AF={EC \over CD}\cdot FD={{\sqrt {3}} \over x+1}}$ 。 ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}={{\sqrt {3}} \over x+1}}$ ${\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)^{2}=3}$ ${\displaystyle x^{4}+2x^{3}-2x-4=0}$ ${\displaystyle (x+2)(x^{3}-2)=0}$ ${\displaystyle x^{3}-2=0}$ ${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2}}}$

尼科美迪斯的幾何證明
作長方形 ${\displaystyle ABGH}$ ，${\displaystyle AH=BG=2AB=2GH}$ 。 延長 ${\displaystyle DH}$ ，延長 ${\displaystyle BG}$ ，交於點 ${\displaystyle K}$ 。 連接 ${\displaystyle EH}$ ，交 ${\displaystyle BG}$ 於點 ${\displaystyle L}$ ，點 ${\displaystyle L}$ 是 ${\displaystyle BG}$ 中點。 取 ${\displaystyle AB}$ 中點 ${\displaystyle M}$，連接 ${\displaystyle MC}$ 。
${\displaystyle AD\cdot BD=(MD-MA)\cdot (MD+MB)}$ ${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}=MD^{2}}$ ${\displaystyle AD\cdot BD+MA^{2}+MC^{2}=MD^{2}+MC^{2}}$ ${\displaystyle AD\cdot BD+AC^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle \triangle KBD\sim \triangle KGH\sim \triangle HAD}$ ${\displaystyle KG:GH=HA:AD}$ ${\displaystyle \because GH=GL,\ AH=2AB=AE}$ ${\displaystyle \therefore KG:GL=AE:AD=FC:FD}$ ${\displaystyle \because FD=AB=GL}$ ${\displaystyle \therefore KG=FC}$ ${\displaystyle KL=KG+GL=FC+FD=CD}$ ${\displaystyle KL^{2}=CD^{2}}$
${\displaystyle KL^{2}=(KL+GL)\cdot (KL-GL)+GL^{2}}$ ${\displaystyle KL^{2}=KB\cdot KG+GL^{2}}$ ${\displaystyle CD^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$ ${\displaystyle \therefore KB\cdot KG+GL^{2}=AD\cdot BD+AC^{2}}$ ${\displaystyle KB\cdot KG=AD\cdot BD}$ ${\displaystyle AD:KG=KB:BD=KG:GH=HA:AD}$
${\displaystyle HA:AD=AD:KG=KG:GH}$ ${\displaystyle HA=2GH}$ ${\displaystyle \therefore KG={\sqrt[{3}]{2}}GH}$ [7]

三等分角

藉助蚌線三等分任意銳角

作任意直角三角形 ${\displaystyle \triangle OAB}$ ，點 ${\displaystyle A}$ 為垂足。以點 ${\displaystyle O}$ 為極點、${\displaystyle 2\ OB}$ 為跡距作直線 ${\displaystyle AB}$ 的蚌線外支。

過點 ${\displaystyle B}$ 作直線 ${\displaystyle AB}$ 的垂線，交蚌線於點 ${\displaystyle C}$。 ${\displaystyle OC}$ 就是 ${\displaystyle \angle AOB}$ 的三等分線。^[7]

證明
作 ${\displaystyle OC}$ 與 ${\displaystyle AB}$ 的交點 ${\displaystyle D}$ 。取 ${\displaystyle CD}$ 的中點 ${\displaystyle E}$ ，連接 ${\displaystyle BE}$ 。 根據蚌線和直角三角形的性質，可知 ${\displaystyle OB=CE=DE=BE}$ 。 易證得 ${\displaystyle \angle BOD=\angle BED=\angle EBC+\angle C=2\angle C=2\angle AOD}$ 。 故 ${\displaystyle \angle AOD={1 \over 3}\angle AOB}$ 。[7]

解析幾何

在極坐標系中，設點 ${\displaystyle O}$ 為坐標原點，則直線 ${\displaystyle l}$ 和蚌線 ${\displaystyle c}$ 的方程可以表示為：^[4]

${\displaystyle l:\ \rho =a{\sec \theta }}$

${\displaystyle c:\ \rho =a{\sec \theta }\pm b}$

${\displaystyle (-{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$

在直角坐標系中，設點 ${\displaystyle O}$ 為坐標原點，則直線 ${\displaystyle l}$ 和蚌線 ${\displaystyle c}$ 的方程可以表示為：^[4]

${\displaystyle l:\ x=a}$

${\displaystyle c:\ (x-a)^{2}(x^{2}+y^{2})=b^{2}x^{2}}$

${\displaystyle (a,b\in \mathbb {R} ^{+})}$

或用參數方程表示為：^[4]

${\displaystyle {\begin{cases}x=a\pm b\cos \theta \\y=a\tan \theta \pm b\sin \theta \end{cases}}}$

（上下正負號同號，${\displaystyle -{\pi \over 2}<\theta <{\pi \over 2}\ ,\ a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$）

尼科美迪斯蚌線是四次平面曲線。^[4]

帕斯卡蝸線

主條目：帕斯卡蝸線

帕斯卡蝸線是一類外旋輪線，同時也是一類特殊的蚌線，是圓關於圓上一個定點的蚌線。由於極點在原曲線上，所以蚌線的內支和外支光滑相連為一條曲線。當跡距等於圓的直徑時，就是心臟線。^[1][2]

作圓 ${\displaystyle O}$ 關於圓上一個定點 ${\displaystyle A}$ 、跡距等於圓的半徑的蚌線。對於圓上任意一點 ${\displaystyle B}$，延長 ${\displaystyle BO}$ 至圓外，與所作蚌線交於點 ${\displaystyle C}$。根據蚌線的性質，易知 ${\displaystyle \angle ACB={1 \over 3}\angle AOB}$ 。這條特殊的蚌線被稱為三等分角蝸線（英語：Limaçon_trisectrix）。^[2]

• 
  圓關於圓上一點、跡距小於圓徑的蚌線
• 
  圓關於圓上一點、跡距等於圓徑的蚌線，即心臟線
• 
  三等分角蝸線

其他蚌線

• 
  圓對圓外一點的蚌線，跡距大於極點與圓的最大距離。極點與蚌線內支分離
• 
  圓對圓外一點的蚌線，跡距等於極點與圓的最大距離。極點為蚌線內支的尖點
• 
  圓對圓外一點的蚌線，跡距小於極點與圓的最大距離，大於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的結點
• 
  圓對圓外一點的蚌線，跡距等於極點與圓的最小距離。極點為蚌線內支的尖點
• 
  圓對圓外一點的蚌線，跡距小於極點與圓的最小距離。極點與蚌線內支分離

• 
  圓對圓內一點的一條蚌線
• 
  拋物線對線外一點的一條蚌線
• 
  正弦曲線對線外一點的一條蚌線
• 
  立方曲線對線外一點的一條蚌線
• 
  雙曲線一支對線上一點的蚌線
• 
  橢圓對於中心、跡距等於半短軸的蚌線，內支有兩個重合的尖點

參考來源

1. 別爾曼（俄語：Берман,_Георгий_Николаевич）. 摆线. 越民義 (譯). 哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社. 2019: 53-60. ISBN 978-7-5603-5834-5.
2. 霍華德·伊夫斯（英語：Howard Eves）. 数学史概论. 第6版. 歐陽峰 (譯). 哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社. 2009: 126.
3. 姜康甫; 吉星. 几何画的原理和作法. 上海: 上海科學技術出版社. 1964: 289-293.
4. 布隆什坦（俄語：Бронштейн, Илья Николаевич）; 謝緬佳也夫（俄語：Семендяев,_Константин_Адольфович）. 数学手册. 羅零, 石崢嶸 (譯). 北京: 高等教育出版社. 1965: 90-91.
5. 高希堯. 数学术语详解词典. 西安: 陝西科學技術出版社. 1991: 20-21. ISBN 7-5369-0738-9.
6. 莫里斯·克萊因. 古今数学思想 第1册. 張理京, 張錦炎, 江澤涵 (譯). 上海: 上海科學技術出版社. 2014: 95-96. ISBN 978-7-5478-1717-9.
7. Thomas Heath（英語：Thomas_Heath_(classicist)）. A History of Greek Mathematics: Volume I, From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press. 1921: 238-240, 260-262 （英語）.
8.  Chisholm, Hugh (編). Conchoid. Encyclopædia Britannica 6 (第11版). London: Cambridge University Press: 826–827. 1911 （英語）.
9. 大衛·S.里奇森（英語：David Richeson）. 不可能的几何挑战 数学求索两千年. 姜喆 (譯). 北京: 人民郵電出版社. 2022: 176-179. ISBN 978-7-115-57370-4.