藏本模型 (Kuramoto model)是一種用來描述同步 的數學模型 ,由日本物理學家藏本由紀 (Kuramoto Yoshiki)首先提出[ 1] [ 2] 。具體說來,它描述了大量耦合振子 的同步行為[ 3] [ 4] 。這個模型原本是為了描述化學振子、生物振子而構建,後發現具有廣泛的應用,例如神經振盪 [ 5] [ 6] [ 7] ,以及振盪火焰的動力學[ 8] [ 9] 。驚人的是,一些物理系統的行為也符合這個模型,比如耦合約瑟夫森結 的陣列[ 10] 。
這個模型假設,所有振子都是完全相同的或幾乎完全相同的,相互之間的耦合很弱、並且任意兩個振子之間的相互作用強度取決於它們相位差的正弦。
在藏本模型最常見的版本中,每個振子都有一個固有的自然頻率
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
,並與所有其它振子以相同的強度耦合。驚人的是,在
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
的極限下,通過巧妙的變換並使用平均場方法,這個完全非線性 的模型是可以精確求解的。
藏本模型中的鎖相
這個模型最常見的形式由以下方程組給出:
d
θ
i
d
t
=
ω
i
+
K
N
∑
j
=
1
N
sin
(
θ
j
−
θ
i
)
,
i
=
1
,
⋯
,
N
{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}},\quad i=1,\cdots ,N}
系統由
N
{\displaystyle N}
個極限環振子組成,
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
是第
i
{\displaystyle i}
個振子的相位,
K
{\displaystyle K}
是耦合強度。
也可以在系統中加入噪聲。這種情況下,方程變為
d
θ
i
d
t
=
ω
i
+
K
N
∑
j
=
1
N
sin
(
θ
j
−
θ
i
)
+
ζ
i
,
i
=
1
,
⋯
,
N
{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}+\zeta _{i},\quad i=1,\cdots ,N}
其中
ζ
i
{\displaystyle \zeta _{i}}
是漲落,並且是時間的函數。如果考慮白噪聲的情況,則:
⟨
ζ
i
(
t
)
⟩
=
0
,
{\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\rangle =0,}
⟨
ζ
i
(
t
)
ζ
j
(
t
′
)
⟩
=
2
D
δ
i
j
δ
(
t
−
t
′
)
{\displaystyle \langle \zeta _{i}(t)\zeta _{j}(t')\rangle =2D\delta _{ij}\delta (t-t')}
其中
D
{\displaystyle D}
代表噪聲強度。
使得這個模型(至少在
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
的極限下)能夠精確求解的變換如下所示:
定義「序」參量
R
e
i
ψ
=
1
N
∑
j
=
1
N
e
i
θ
j
{\displaystyle Re^{i\psi }={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}{e^{i\theta _{j}}}}
R
{\displaystyle R}
表徵了這群振子的相位相關性 ,
ψ
{\displaystyle \psi }
是平均相位。方程兩邊乘以
e
−
i
θ
i
{\displaystyle e^{-{\text{i}}\theta _{i}}}
,只考慮虛部得到:
d
θ
i
d
t
=
ω
i
+
K
R
sin
(
ψ
−
θ
i
)
{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}+KR\sin {(\psi -\theta _{i})}}
因此振子的方程組就不是顯式耦合的;相反,序參量支配了系統的行為。通常還會做進一步的變換,變換到一個轉動的坐標系,其中所有振子相位的統計平均為零(即
ψ
=
0
{\displaystyle \psi =0}
)。最終,方程變為:
d
θ
i
d
t
=
ω
i
−
K
R
sin
θ
i
{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}=\omega _{i}-KR\sin {\theta _{i}}}
考慮
N
→
∞
{\displaystyle N\to \infty }
的情況。自然頻率的分佈記為
g
(
ω
)
{\displaystyle g(\omega )}
(假設已經歸一化)。設在時刻
t
{\displaystyle t}
,在所有自然頻率為
ω
{\displaystyle \omega }
的振子中,相位為
θ
{\displaystyle \theta }
的振子所佔比例為
ρ
(
θ
,
ω
,
t
)
{\displaystyle \rho (\theta ,\omega ,t)}
。歸一化要求
∫
0
2
π
ρ
(
θ
,
ω
,
t
)
d
θ
=
1
{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta ,\omega ,t)d\theta }=1}
振子密度的連續性方程 為
∂
ρ
∂
t
+
∂
(
ρ
v
)
∂
θ
=
0
{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v)}{\partial \theta }}=0}
其中
v
=
ω
+
K
R
sin
(
ψ
−
θ
)
{\displaystyle v=\omega +KR\sin {(\psi -\theta )}}
是振子的漂移速度。
最終,在連續統極限下重新寫出序參量。
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
應該用系綜平均來代替,求和替換為積分,得到
R
e
i
ψ
=
∫
0
2
π
∫
−
∞
∞
ρ
(
θ
,
ω
,
t
)
g
(
ω
)
e
i
θ
d
ω
d
θ
{\displaystyle Re^{i\psi }=\int _{0}^{2\pi }{\int _{-\infty }^{\infty }{\rho (\theta ,\omega ,t)g(\omega )e^{i\theta }d\omega }d\theta }}
所有振子隨機漂移的不相關 態對應均勻分佈解
ρ
=
1
2
π
{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2\pi }}}
。這種情況
R
=
0
{\displaystyle R=0}
,振子之間沒有關聯。系統整體處於統計穩定態 ,儘管每個振子單獨來看都在以自然頻率不停運動。
當耦合足夠強時,可能會出現完全同步的解。在完全同步態中,所有振子以相同頻率運動,但相位可以不同。
部分同步是只有一些振子同步,而另一些振子自由漂移的狀態。從數學上來說,對鎖相的振子
ρ
=
δ
(
θ
−
ψ
−
arcsin
ω
K
R
)
{\displaystyle \rho =\delta \left(\theta -\psi -\arcsin {\frac {\omega }{KR}}\right)}
對漂移的振子,
ρ
∝
1
ω
−
K
R
sin
(
θ
−
ψ
)
{\displaystyle \rho \propto {\frac {1}{\omega -KR\sin {(\theta -\psi )}}}}
耗散的藏本模型包含在某些保守的哈密頓系統 中[ 11] ,哈密頓量 具有形式:
H
=
∑
i
=
1
N
1
2
ω
i
(
q
i
2
+
p
i
2
)
+
K
4
N
∑
i
,
j
=
1
N
(
q
i
p
j
−
q
j
p
i
)
(
q
j
2
+
p
j
2
−
q
i
2
−
p
i
2
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\frac {1}{2}}\omega _{i}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}+{\frac {K}{4N}}\sum _{i,j=1}^{N}{(q_{i}p_{j}-q_{j}p_{i})(q_{j}^{2}+p_{j}^{2}-q_{i}^{2}-p_{i}^{2})}}
用正則變換變成作用量-角度的形式,作用量為
I
i
=
1
2
(
q
i
2
+
p
i
2
)
{\displaystyle I_{i}={\frac {1}{2}}(q_{i}^{2}+p_{i}^{2})}
,角度(相位)
θ
i
=
arctan
q
i
p
i
{\displaystyle \theta _{i}=\arctan {\frac {q_{i}}{p_{i}}}}
,在作用量
I
i
≡
I
{\displaystyle I_{i}\equiv I}
為常數的不變流形上就是藏本動力學。變換後的哈密頓量
H
=
∑
i
=
1
N
ω
i
I
i
−
K
N
∑
i
=
1
N
∑
j
=
1
N
I
j
I
i
(
I
j
−
I
i
)
sin
(
θ
j
−
θ
i
)
{\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i=1}^{N}{\omega _{i}I_{i}}-{\frac {K}{N}}\sum _{i=1}^{N}{\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}}
哈密頓運動方程為
d
I
i
d
t
=
−
∂
H
∂
θ
i
=
−
2
K
N
∑
j
=
1
N
I
j
I
i
(
I
j
−
I
i
)
cos
(
θ
j
−
θ
i
)
{\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \theta _{i}}}=-{\frac {2K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}I_{i}}}(I_{j}-I_{i})\cos {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}
d
θ
i
d
t
=
∂
H
∂
I
i
=
ω
i
+
K
N
∑
j
=
1
N
I
j
/
I
i
(
I
i
+
I
j
)
sin
(
θ
j
−
θ
i
)
{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial I_{i}}}=\omega _{i}+{\frac {K}{N}}\sum _{j=1}^{N}{{\sqrt {I_{j}/I_{i}}}(I_{i}+I_{j})\sin {(\theta _{j}-\theta _{i})}}}
因為
d
I
i
d
t
=
0
{\displaystyle {\frac {dI_{i}}{dt}}=0}
,所以
I
i
=
I
{\displaystyle I_{i}=I}
確定的流形是不變的,並且相位動力學
d
θ
i
d
t
{\displaystyle {\frac {d\theta _{i}}{dt}}}
就是藏本模型的動力學。這類哈密頓系統描述了某些量子-經典系統,包括玻色-愛因斯坦凝聚 。
模型有兩種類型的變體,一種改變模型的拓撲結構,另一種改變耦合函數的形式。
除了具有全連拓撲的原始模型,足夠稠密的複雜網絡 拓撲也可以用同樣的平均場處理[ 12] 。而對於局域的行為,例如鏈形或環形網絡上的情況,不能再使用經典的平均場方法,所以只能具體問題具體分析,儘可能利用對稱性獲取解的信息。
藏本把兩個振子之間的相位相互作用用第1個傅里葉分量來近似,即
Γ
(
ϕ
)
=
sin
ϕ
{\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi }
,其中
ϕ
=
θ
j
−
θ
i
{\displaystyle \phi =\theta _{j}-\theta _{i}}
。通過把高階傅里葉分量包括進來,可以得到更好的近似
Γ
(
ϕ
)
=
sin
ϕ
+
a
1
sin
(
2
ϕ
+
b
1
)
+
⋯
+
a
n
sin
(
2
n
ϕ
+
b
n
)
{\displaystyle \Gamma (\phi )=\sin \phi +a_{1}\sin {(2\phi +b_{1})}+\cdots +a_{n}\sin {(2n\phi +b_{n})}}
例如,對於弱耦合Hodgkin-Huxley神經元的網絡,其同步行為可以用一些振子來表示,這些振子的相互作用函數保留前四階傅里葉分量[ 13] 。高階項的引入也能帶來有趣的同步現象,例如異宿環 [ 14] 、部分同步態[ 15] 、以及奇美拉態[ 16] 。
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