萊夫謝茨對偶

在數學上，萊夫謝茨對偶是龐加萊對偶的一種拓展，使得最初的龐加萊對偶可以作用於帶邊流形 。它最初由萊夫謝茨於1926年提出。^[1]

定理（萊夫謝茨對偶）

令 ${\displaystyle M}$ 是 ${\textstyle n}$ 維可定向緊流形，邊界為 ${\displaystyle N}$ ，令 ${\displaystyle z}$ 為${\displaystyle M}$ 的定向所決定的基本類。與 ${\displaystyle z}$ 的杯積誘導了 ${\displaystyle M}$ 的（上）同調群和 ${\displaystyle (M,N)}$ 的相對（上）同調群的配對；由此便可得到^[2]

$${\displaystyle H^{k}(M,N)\cong H_{n-k}(M)}$$

與

$${\displaystyle H_{k}(M,N)\cong H^{n-k}(M)}$$

這裏的 ${\textstyle N}$ 實際上可以是空的，此時，萊夫謝茨對偶退化為龐加萊對偶。

實際上，若 ${\textstyle N}$ 可以分解為具有共同邊界的兩個可定向緊流形 ${\textstyle A}$、${\textstyle B}$，則有下式：^[3]

$${\displaystyle D_{M}:H^{p}(M,A;\mathbb {Z} )\to H_{n-p}(M,B;\mathbb {Z} ).}$$

參考

1. Biographical Memoirs By National Research Council Staff (1992), p. 297.
2. James W. Vick, Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology (1994), p. 171.
3. Allen Hatcher, "Algebraic Topology" (2002), p. 254.