在線性代數與矩陣論中，一個矩陣的子矩陣之舒爾補是一個與其余子陣同樣大小的矩陣，定義如下：假設一個 (p+q)×(p+q)的矩陣M被分為A, B, C, D四個部分，分別是p×p、p×q、q×p以及q×q的矩陣，也就是說：
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
並且D是可逆的矩陣。則D在矩陣中的舒爾補是：
這是一個p×p的矩陣。
舒爾補得名於數學家伊賽·舒爾，後者用舒爾補來證明舒爾引理。然而，舒爾補的概念在之前就曾經被使用過[1]。
舒爾補實際上是對原來的矩陣M進行一系列的初等變換操作後得到的矩陣，其轉換矩陣是下三角矩陣：
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3baa130f2dd9d92909bbd80bb9638794b80bb)
其中Ip表示一個p×p的單位矩陣。矩陣M右乘轉換矩陣L之後，左上角就會出現舒爾補，具體的形式是：
![{\displaystyle M\cdot L=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b640cc867f92d5c37d4bba26fd53c83d1c8642f)
因此，矩陣M的逆，如果存在的話，可以用
以及其舒爾補（如果存在的話）來表示：
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b23deff96c6098bb63dc71c9850da774f0a02c)
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b38d1b9faf07303d9d03160f4ea900c5331fd)
當p和q都等於1（即A、B、C和D都是係數）時，我們可以得到一般的2 × 2的矩陣的逆矩陣表達式：
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
這也說明了
是非零的數。
假設有分別屬於Rn以及Rm的隨機列向量X, Y ，並且Rn+m中的向量對 (X, Y)具有多維正態分佈，其方差矩陣是對稱的正定矩陣
![{\displaystyle V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d1e0d9b2e09495f32e17eff341787170e6756a)
那麼X在Y給定時的條件方差是矩陣C在V中的舒爾補：
Zhang, Fuzhen. The Schur Complement and Its Applications. Springer. 2005. ISBN 0387242716.
![{\displaystyle M=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06975df014f40e74936e5d74d528ec791a10d21e)
![{\displaystyle L=\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec3baa130f2dd9d92909bbd80bb9638794b80bb)
![{\displaystyle M\cdot L=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I_{p}&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A-BD^{-1}C&BD^{-1}\\0&I_{q}\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b640cc867f92d5c37d4bba26fd53c83d1c8642f)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}=\left[{\begin{matrix}I&0\\-D^{-1}C&D^{-1}\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}(A-BD^{-1}C)^{-1}&0\\0&I\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}I&-BD^{-1}\\0&I\end{matrix}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5b23deff96c6098bb63dc71c9850da774f0a02c)
![{\displaystyle =\left[{\begin{matrix}\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&-\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\\-D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}&D^{-1}+D^{-1}C\left(A-BD^{-1}C\right)^{-1}BD^{-1}\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b7b38d1b9faf07303d9d03160f4ea900c5331fd)
![{\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{AD-BC}}\left[{\begin{matrix}D&-B\\-C&A\end{matrix}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5648f3d0958a38c96d297032e064e55d8ddf260a)
![{\displaystyle V=\left[{\begin{matrix}A&B\\B^{T}&C\end{matrix}}\right].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d1e0d9b2e09495f32e17eff341787170e6756a)
