索末菲恆等式

索末菲恆等式 是由阿諾德索末菲提出的一個數學恆等式，該恆等式用於波傳播理論中，

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

其中

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

取正實數部分，以確保積分收斂和 ${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$。

${\displaystyle R}$ 表示到原點的距離，同時 ${\displaystyle r}$是${\displaystyle (r,\phi ,z)}$ 柱坐標系統中到圓柱中心軸的距離。 這裏貝索函數的符號遵循德國慣例，與索末菲使用的原始符號一致。${\displaystyle I_{0}(z)}$第一類零階貝索函數，在英文文獻中通常標記為${\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}$ 。 ^[1]。

索末菲恆等式可以更容易地看作是球面波特別是圓柱對稱波的擴展，

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

其中

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

^[2]. 這裏使用的符號不同於上面： 這裏的${\displaystyle r}$ 是圓柱坐標系中的徑向距離。 其物理解釋是球面波可以擴展成為${\displaystyle \rho }$方向上柱面波的總和，乘以 ${\displaystyle z}$ 方向上雙面平面波，參見 Jacobi-Anger expansion（英語：Jacobi–Anger expansion）。 必須對所有波數 ${\displaystyle k_{\rho }}$求和。

索末菲恆等式與柱對稱的二維 傅里葉變換密切相關，即漢克爾變換。 它是通過改變沿面坐標(${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, 或 ${\displaystyle \rho }$, ${\displaystyle \phi }$)的球面波，但不改變沿高度坐標${\displaystyle z}$得到的。

參考文獻

1. Sommerfeld, A.,Partial Differential Equations in Physics,Academic Press,New York,1964
2. Chew, W.C.,Waves and Fields in Inhomogeneous Media,Van Nostrand Reinhold,New York,1990