米田引理

在範疇論中，米田引理斷言一個對象${\displaystyle X}$的性質由它所表示的函子${\displaystyle \mathrm {Hom} (X,-)}$或${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,X)}$決定。此引理得名於日本數學家暨計算機科學家米田信夫。

陳述

設${\displaystyle {\mathcal {C}}}$為一範疇，定義兩個函子範疇如下：

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\wedge }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}},\mathbf {Set} )}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\vee }:=\mathrm {Fct} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )}$

並定義兩個函子：

${\displaystyle h_{\mathcal {C}}(X)=h_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(-,X)}$

${\displaystyle k_{\mathcal {C}}(X)=k_{X}:=\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(X,-)}$

其中${\displaystyle h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }}$而${\displaystyle k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }}$。

米田引理的抽象陳述如下：

米田引理。有自然的同構

${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},A\in {\mathcal {C}}^{\wedge }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\wedge }}(h_{X},A)\simeq A(X)}$

${\displaystyle \forall X\in {\mathcal {C}},B\in {\mathcal {C}}^{\vee }\quad \mathrm {Hom} _{{\mathcal {C}}^{\vee }}(k_{X},B)\simeq B(X)}$

這兩個同構對所有變元${\displaystyle A,B,X}$都滿足函子性。

對任一對象${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$，在上述同構中分別取${\displaystyle A=h_{Y},B=k_{Y}}$，便得到米田引理最常見的形式：

推論。函子${\displaystyle h_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\wedge }}$與${\displaystyle k_{\mathcal {C}}:C\to {\mathcal {C}}^{\vee }}$是完全忠實的。

應用

更多資訊：可表函子

由上述推論，範疇中的對象${\displaystyle X}$由它所表示的函子${\displaystyle h_{X}}$或${\displaystyle k_{X}}$唯一確定（至多差一個同調），這是可表函子理論的根基所在。例如在代數幾何中，一個常見的技術是將概形等同於它所代表的函子，後者往往具有直觀的幾何詮釋，技術上亦較容易處理；另一方面，我們也往往從函子的觀點研究空間的商、極限或者是模空間問題，第一步是定義適當的「函子解」，其次再研究它可表與否。代數拓撲中的分類空間也是可表函子概念的體現。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結

• Pierre Schapira, Categories, sites, sheaves and stacks