積度量

在數學裏，積度量（product metric）是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量。n 個度量空間之笛卡爾積的積度量，可視為是將 n 個子空間的範數作為 n 維向量之各分量，取其 p-範數所得之值。

${\displaystyle d_{p}(\mathbf {x} _{1},\dots ,\mathbf {x} _{n})=\|(d_{1}(\mathbf {x} _{1}),\dots ,d_{n}(\mathbf {x} _{n}))\|_{p}}$

定義

令 ${\displaystyle (X,d_{X})}$ 與 ${\displaystyle (Y,d_{Y})}$ 為度量空間，且令 ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$。${\displaystyle X\times Y}$ 上之 p-積度量 ${\displaystyle d_{p}}$ 定義為

對於 ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ 及 ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$，

${\displaystyle d_{p}\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right):=\left(d_{X}(x_{1},x_{2})^{p}+d_{Y}(y_{1},y_{2})^{p}\right)^{1/p}}$ for ${\displaystyle 1\leq p<\infty ;}$

${\displaystyle d_{\infty }\left((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\right):=\max \left\{d_{X}(x_{1},x_{2}),d_{Y}(y_{1},y_{2})\right\}.}$

範數的選擇

在歐氏空間裏，使用 L₂ 範數會在積空間裏產生歐幾里得度量；不過，選擇 p 的其他值也會形成其他拓撲等價的度量空間。在度量空間範疇（具有利普希茨常數為 1 的利普希茨映射）裏，使用上確界範數。

參考資料

• Deza, Michel Marie; Deza, Elena, Encyclopedia of Distances, Springer-Verlag: 83, 2009.