1.令
,且
2.將兩邊乘以a
![{\displaystyle a^{2}=ab\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e40e83d82ce82333d79b7e91edba8cba9217c31c)
3.將兩邊減掉
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef77b8b88cc32eaa0663d821867277ae9a7b525c)
4.將兩邊因式分解
![{\displaystyle (a+b)(a-b)=b(a-b)\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca0b375d7e16154c6b74865c1b84935bf86812f0)
5.將兩邊除以
![{\displaystyle a+b=b\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6346b0d1650ab42a56953ee9127c2d18ec41bb2)
6.因為
因此
![{\displaystyle b+b=b\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1e656a22cd3e500f2c16cd5f5d7ea30aebed02)
7.簡化
![{\displaystyle 2b=b\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc16ed509c59d25324c7d2764310c0dd086f73e)
8.將兩邊除以b
![{\displaystyle 2=1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36b96819850a45e84e5cee8d2e38e1000a761b7)
Q.E.D.
這個證明的錯誤點在於第五步,
正因為a=b所以a-b等於零,而除以零是無效的。
首先,設定一個無窮級數。
![{\displaystyle 0=0+0+0+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc111f16c5c8bf7c24cf66dacc3be30c5b286a42)
因為
,因此:
![{\displaystyle 0=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efdb84251a8b74cc5db01442250b30fcce8f83c9)
拆括號之後在於不同的地方加上括號:
![{\displaystyle 0=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45d8c1d41c694e3f2ff19a2bd47ee043d67de217)
,因此:
![{\displaystyle 0=1+0+0+0+\cdots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17cfaee15f0af903ff14e8472e1a5d12abe9003f)
![{\displaystyle 0=1\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33c44a13e4c6c209733b7906e1080d885db8d49)
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,無窮等比級數在公比的絕對值大於等於一的情況下,將括號插入無窮級數求無窮和是沒有意義的,因為這樣的無窮等比級數和發散。因此這類條件不適用於格蘭迪級數
。
![{\displaystyle -{\frac {1}{b}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12003fa45441f68647bb65974f93f39df10659cb)
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,
不等於
,正確等式應是
(下一步:
)。
首先,我們知道:
![{\displaystyle 0^{4}=0\times 0\times 0\times 0=0\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a19c54de36b3c81e8293e48cab0457924c4cfd1)
![{\displaystyle 0^{2}=0\times 0=0\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675fa5d45e9cb9b926fbba208afd471c8c42b2b9)
由於
因此
因此
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,
成立的前提有
。
設![{\displaystyle u=a\ ,\ v=b-c\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0875e9e7e99c94dda91be749093919e4922fba)
設
由和立方與差立方公式可知:
![{\displaystyle (u+{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}+3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv+v{\sqrt {v}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d66a43caab9d08c90c92854dd2dd6f563bb24ce1)
![{\displaystyle (u-{\sqrt {v}})^{3}=u^{3}-3u^{2}{\sqrt {v}}+3uv-v{\sqrt {v}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f23ca8d4c7b00adfb464d034e187766137f1542)
由於
![{\displaystyle (a+{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)+(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f846037340cbd5c3f32b95cdc7b85d7b1f4b39a8)
![{\displaystyle (a-{\sqrt {b-c}})^{3}=a\ (a^{2}+3b-3c)-(3a^{2}+b-c){\sqrt {b-c}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/089e6cd51b61925b39ae93c8091eb2c366679f9a)
將
代入
,可得:
![{\displaystyle 3a^{2}+b-c=3(x^{2}-2xy+y^{2})+x^{2}+2xy+y^{2}-4(x^{2}-xy+y^{2})=0\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88c10342858c5d05ef0a6764952bc477d4e9e7db)
因此:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(a+{\sqrt {b-c}})^{3}&=(a-{\sqrt {b-c}})^{3}\\a+{\sqrt {b-c}}&=a-{\sqrt {b-c}}\\{\sqrt {b-c}}&=0\\b-c&=0\\b&=c\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c73009607dc66d0639ed9a3a3c43654aeaa982f)
代入
,可得:
![{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\x^{2}+2xy+y^{2}&=4(x^{2}-xy+y^{2})\\-3x^{2}+6xy-3y^{2}&=0\\(x-y)^{2}&=0\\x-y&=0\\x&=y\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fad69c7012c817a1f3f74b219947f05d6ce19a3c)
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於:
1、在以上的假設下,可得
,所以
和
並不是獨立的;
2、在複數域中,由
得不出
。在此證明中,由
得出
是錯誤的。
第一題錯誤的證圖
第一題正確的證圖
第二題錯誤的證圖
第二題正確的證圖
給定三角形△ABC,證明AB = AC:
- 作∠A的角平分線。
- 作BC的垂直平分線,並設BC的中點為D。
- 設這兩條直線的交點為P。
- 從P向AB和AC作垂線,並設垂足為E和F。
- 作直線PB和PC。
- △EAP ≅ △FAP(AP = AP;∠PAF ≅ ∠PAE由於AP平分∠A;∠AEP ≅ ∠AFP都是直角)。
- △PDB ≅ △PDC(∠PDB、∠PDC是直角;PD = PD;BD = CD由於PD平分BC)。
- △EPB ≅ △FPC(EP = FP由於△EAP ≅ △FAP;BP = CP由於△PDB ≅ △PDC;∠EPB ≅ ∠FPC由於它們是對頂角)。
- 因此,AE ≅ AF,EB ≅ FC,AB = AE + EB = AF + FC = AC。
- 同理,AB = BC,AC = BC。
證畢。
這個證明的錯誤在於,只有在△ABC為等腰三角形,P才會位於三角形的內部,而且AP與DP會重合。
給定一個矩形ABCD,證明∠DCB=∠ECB;
- 在矩形ABCD外作CE=CD。
- 聯結AE。
- 作BC、AE的中垂線,它們的垂足分別是G、F,兩條直線交於H。
- 在中垂線上的點到線段兩端的距離是相等的,所以HA=HE,HB=HC。
- 矩形的對邊相等,得AB=DC;加上作圖要求,得AB=EC。
- 利用S.S.S得△ABH≅△ECH。於是得∠ABH=∠ECH。
- 由於HB=HC,則得∠HBC=∠HCB。
- 等量減等量,得∠ABC=∠ECB。
- 矩形的四個角都是90°,得∠ABC=∠ECB=90°。
Q.E.D.
這個證明的錯誤在於,由於△ABH≅△ECH,則∠BHA=∠CHE,即∠AHE=∠BHC-∠BHA+∠CHE,可以把∠AHE看作是∠BHC的旋轉,因AH穿過了矩形ABCD,則EH是不可能穿過矩形ABCD的。