滲流理論

滲流理論（英語：Percolation theory）是數學和統計物理領域中研究隨機圖上簇的性質的一套理論。舉例來說，假設有一多孔材料，求問液體能否從頂端貫穿該材料直至到達底部。滲流理論將此抽象成以下數學問題：建立一有n × n × n個頂點的三維網格模型，相鄰頂點的邊有p的概率是連接的，或者說有(1-p)的概率是不連接的，每條邊連接與否相互獨立。滲流理論的基本問題是，當n很大以至於體系可以近似為無限網格時，求問至少存在一條貫穿整個網格的路徑（稱為滲流）對應的p的範圍。這一p的下界，p_c，稱為滲流閾值（英語：Percolation_threshold）。該問題由布羅德本特和漢默斯利於1957年提出，^[1]其後相關問題被廣泛研究。

上述問題稱為邊滲流或鍵滲流（英語：Bond percolation），是滲流理論兩種主要的滲流形式之一。另外一種是點滲流（英語：Site percolation），與邊滲流不同的是，每個頂點有p的概率是「佔有」的；相應有(1-p)的概率是「空缺」的，如果相鄰兩個頂點皆屬於佔有則它們之間是連接的。而問題相同：求給定p值時，整個圖是否滲流。

滲流閾值

主條目：滲流閾值（英語：Percolation_threshold）

根據零一律，一個無限的隨機圖是否滲流的概率要麼為0，要麼為1，處於這一轉折的臨界概率稱為滲流閾值，記作p_c。少數簡單模型的滲流閾值有精確的解析解。例如，一維點陣的邊滲流和點滲流閾值均為p_c=1，這個解是平凡的；^[2]二維方格的滲流閾值曾困擾物理學界20年，直到1980年代由哈里·凱斯滕（英語：Harry_Kesten）給出完整證明，其邊滲流閾值是1/2（參見Kesten (1982) harvtxt error: no target: CITEREFKesten1982 (help)）。^[3]另一種已知精確解的特殊情況是貝特晶格（英語：Bethe_lattice）（該模型的每一個頂點有z個近鄰頂點，如此延伸，沒有迴路），${\displaystyle p_{c}={\frac {1}{z-1}}}$。

以下給出d維簡單立方模型的滲流閾值數據：

d	配位數z	點滲流	邊滲流
2	4	0.59274601(2)[4]	1/2
3	6	0.3116077(4)[5]	0.2488126(5)[6]
4	8	0.1968861(14),[7]0.19688561(3)[8]	0.1601314(13),[7] 0.16013122(6)[8]
5	10	0.1407966(15),[7] 0.14079633(4)[8]	0.118172(1),[7] 0.11817145(3)[8]
6	12	0.109017(2),[7] 0.109016661(8)[8]	0.0942019(6),[7] 0.09420165(2)[8]
7	14	0.0889511(9), [7] 0.088951121(1),[8]	0.0786752(3),[7] 0.078675230(2)[8]
8	16	0.0752101(5),[7] 0.075210128(1)[8]	0.06770839(7),[7] 0.0677084181(3)[8]
9	18	0.0652095(3),[7] 0.0652095348(6)[8]	0.05949601(5),[7] 0.0594960034(1)[8]
10	20	0.0575930(1),[7] 0.0575929488(4)[8]	0.05309258(4),[7] 0.0530925842(2)[8]
11	22	0.05158971(8),[7] 0.0515896843(2)[8]	0.04794969(1),[7] 0.04794968373(8)[8]
12	24	0.04673099(6),[7] 0.0467309755(1)[8]	0.04372386(1),[7] 0.04372385825(10)[8]
13	26	0.04271508(8),[7] 0.04271507960(10)[8]	0.04018762(1),[7] 0.04018761703(6)[8]

實際計算中，當網格邊長n較大時，比如n=100，一個體系是否滲流的概率在p_c附近的變化已經非常尖銳。

滲流臨界指數

主條目：滲流臨界指數（英語：Percolation_critical_exponents）

模型在滲流閾值附近的行為可視作一種相變，因為有些表徵性質的物理量是發散的，比如簇的期望大小。標度理論認為模型在滲流閾值的性質可以用一系列臨界指數描述。例如，相互連接的點（點滲流）或邊（邊滲流）構成一個簇。當${\displaystyle p=p_{c}}$時，簇大小的分佈趨於${\displaystyle n_{s}\sim s^{-\tau },(s\rightarrow \infty )}$，其中${\displaystyle s}$為簇的大小，${\displaystyle n_{s}}$為該大小的簇出現的概率，${\displaystyle \tau }$為費舍爾指數（Fischer exponent）。

又如，兩個距離為${\displaystyle {\vec {r}}\,\!}$的點屬於同一個簇的概率呈${\displaystyle g({\vec {r}})\sim |{\vec {r}}|^{-d+(2+\eta )}\,\!}$指數衰減，其中${\displaystyle \eta }$為反常維度（Anomalous dimension）。

在滲流閾值時，無限的簇可視作一分形。以該無限的簇上的一點為中心，長度為${\displaystyle L}$半徑範圍內屬於該簇點的個數（簇的質量）滿足${\displaystyle M(L)=L^{d_{\mathrm {f} }}}$，${\displaystyle d_{\mathrm {f} }}$稱為分形維度（Fractal dimension）。以上三個指數滿足

${\displaystyle \tau ={\frac {d}{d_{\text{f}}}}+1\,\!}$

${\displaystyle \eta =2+d-2d_{\text{f}}\,\!}$

滲流臨界指數及關係也是滲流理論研究的重要內容。

相關

• 普遍性 (物理學)
• ER隨機圖

參考資料

1. Broadbent, S. R.; Hammersley, J. M. Percolation processes. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1953, 53 (03): 629. Bibcode:1957PCPS...53..629B. ISSN 0305-0041. doi:10.1017/S0305004100032680.
2. Dietrich Stauffer; Ammon Aharony. Introduction to percolation theory revised second edition. CRC press. 2014. ISBN 0748400273. 引文使用過時參數coauthors (幫助) 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
3. Bollobás, Béla; Riordan, Oliver. Sharp thresholds and percolation in the plane. Random Structures and Algorithms. 2006, 29 (4): 524–548. ISSN 1042-9832. arXiv:math/0412510 . doi:10.1002/rsa.20134.
4. Jacobsen, J. L. High-precision percolation thresholds and Potts-model critical manifolds from graph polynomials. J. Phys. A: Math. Theor. 2014, 47 (13): 135001. Bibcode:2014JPhA...47m5001G. arXiv:1401.7847 . doi:10.1088/1751-8113/47/13/135001.
5. Deng, Youjin; H. W. J. Blöte. Monte Carlo study of the site-percolation model in two and three dimensions. Physical Review E. 2005, 72 (1): 016126. Bibcode:2005PhRvE..72a6126D. doi:10.1103/PhysRevE.72.016126.
6. Lorenz, C. D.; R. M. Ziff. Precise determination of the bond percolation thresholds and finite-size scaling corrections for the sc, fcc, and bcc lattices. Physical Review E. 1998, 57: 230–236. Bibcode:1998PhRvE..57..230L. arXiv:cond-mat/9710044 . doi:10.1103/PhysRevE.57.230.
7. Grassberger, Peter. Critical percolation in high dimensions. Physical Review E. 2003, 67 (3): 4. Bibcode:2003PhRvE..67c6101G. arXiv:cond-mat/0202144 . doi:10.1103/PhysRevE.67.036101.
8. Mertens, Stephan; Christopher Moore. Percolation Thresholds and Fisher Exponents in Hypercubic Lattices. 2018. arXiv:1806.08067  [cond-mat.stat-mech].