正交補餘

在線性代數和泛函分析的數學領域中，內積空間 V 的子空間 W 的正交補餘（英語：orthogonal complement） ${\displaystyle W^{\bot }}$ 是正交於 W 中所有向量的所有 V 中向量的集合，也就是

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V:\forall y\in W,\langle x,y\rangle =0\,\right\}.\,}$

正交補餘總是閉合在度量拓撲下。在希爾伯特空間中，W 的正交補餘的正交補餘是 W 的閉包，就是說

${\displaystyle W^{\bot \,\bot }={\overline {W}}.\,}$

如果 A 是 ${\displaystyle m\times n}$ 矩陣，而 ${\displaystyle {\mbox{Row }}A}$, ${\displaystyle {\mbox{Col }}A}$ 和 ${\displaystyle {\mbox{Nul }}A}$ 分別指稱列空間、行空間和零空間，則有

${\displaystyle (\mathrm {Row} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A}$

和

${\displaystyle (\mathrm {Col} \,A)^{\bot }=\mathrm {Nul} \,A^{T}}$

巴拿赫空間

在一般的巴拿赫空間中有自然的類似物。在這種情況下類似的定義 W 的正交補餘為 V 的對偶的子空間

${\displaystyle W^{\bot }=\left\{\,x\in V^{*}:\forall y\in W,x(y)=0\,\right\}.\,}$

它總是 ${\displaystyle V^{*}}$ 的閉合子空間。它也有類似的雙重補性質。${\displaystyle W^{\bot \,\bot }}$ 現在是 ${\displaystyle {V^{*}}^{*}}$ 的子空間(它同一於 ${\displaystyle V}$)。但是自反空間有在 ${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle {{V^{*}}^{*}}}$ 之間的自然同構 ${\displaystyle i}$。在這種情況下我們有

${\displaystyle i{\overline {W}}=W^{\bot \,\bot }.}$

這是哈恩-巴拿赫定理的直接推論。