在物理學上,歐拉方程統治剛體的轉動。我們可以選取相對於慣量的主軸坐標為體坐標軸系。這使得計算得以簡化,因為我們現在可以將角動量的變化分成分別描述
的大小變化和方向變化的部分,並進一步將慣量對角化。
這些方程是:
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0231e3834fbc14a641ea6a6d7409999e1fdc06e)
其中
是角動量在體坐標系中的表達,
是物體角動量相對於體坐標系的變化,
是在體坐標系中的角速度,而
是外力矩。
證明
![{\displaystyle \left({\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\right)_{\mathrm {relative} }+\mathbf {\omega } \times \mathbf {L} =\left(I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}\right)+\mathbf {(} \omega )\times I\mathbf {\omega } =I{\frac {d\mathbf {\omega } }{dt}}+{\frac {dI}{dt}}\mathbf {\omega } ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {N} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6e1c642a4ab201089c22963433db865a6b12b0)
分量形式
採用主軸坐標,I對角化,則
分量形式為
。從而,歐拉方程變為如下分量形式
![{\displaystyle {\begin{matrix}N_{1}&=&I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}\\N_{2}&=&I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}\\N_{3}&=&I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}\\\end{matrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24dc6ad7b5ff36bd4c35f824d2e02a0e2201285e)
應用
方程左邊為0時,還是有非平凡解:無力矩進動。
該方程也可以使用在坐標軸不在物體上的場合,
不再連接到物體本身。
是圍繞固定坐標軸的轉動而不是物體本身的轉動。但是,所選的軸必須還是主軸,因為它是對角化的必要條件。這個形式的歐拉方程對於有旋轉對稱性的物體很有用,因為有些主軸的選取是自由的。
參閱