歐拉定理 (幾何)

在平面幾何學中的歐拉定理是說，三角形的外心與內心之間的距離${\displaystyle d}$ 可表示為

${\displaystyle d^{2}=R(R-2r)\,}$

提示：此條目的主題不是歐拉公式或歐拉定理 (數論)。

${\displaystyle d=|IO|={\sqrt {R(R-2r)}}}$

其中${\displaystyle R}$為外接圓半徑，${\displaystyle r}$為內切圓半徑。

從歐拉定理可推出歐拉不等式 (當三角形等邊時，等號成立)：

${\displaystyle R}$ ≥ ${\displaystyle 2r.}$

證明

(1)當${\displaystyle d=0}$時，表示外心${\displaystyle O}$與內心${\displaystyle I}$重合，此時易證三角形${\displaystyle \displaystyle ABC}$為正三角形，且${\displaystyle R=2r}$，因此${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$。

(2)當${\displaystyle d}$大於${\displaystyle 0}$時，請參考右下圖：

(a)設三角形${\displaystyle ABC}$的外心為${\displaystyle O}$，內心為${\displaystyle I}$，延長${\displaystyle AI}$交外接圓於${\displaystyle L}$，則${\displaystyle L}$為弧${\displaystyle BC}$的中點。連${\displaystyle LO}$延長交外接圓於${\displaystyle M}$，過${\displaystyle I}$作${\displaystyle ID}$垂直於${\displaystyle AB}$，${\displaystyle D}$為垂足，則${\displaystyle ID=r}$。易證三角形${\displaystyle \displaystyle ADI}$與三角形${\displaystyle \displaystyle MBL}$相似，故${\displaystyle {\frac {ID}{BL}}={\frac {AI}{ML}}}$，即${\displaystyle ID\times ML=AI\times BL}$。所以${\displaystyle 2Rr=AI\times BL}$。

(b)連接${\displaystyle \displaystyle BI}$，因

${\displaystyle \angle BIL=\angle BAI+\angle ABI={\frac {\angle BAC}{2}}+{\frac {\angle ABC}{2}}}$，

${\displaystyle \angle IBL=\angle IBC+\angle CBL={\frac {\angle ABC}{2}}+{\frac {\angle BAC}{2}}}$，

所以${\displaystyle \angle BIL=\angle IBL}$，有${\displaystyle \displaystyle BL=IL}$，由(a)的結論知${\displaystyle AI\cdot IL=2Rr}$。

(c)設${\displaystyle \displaystyle OI}$延長線交外接圓於${\displaystyle \displaystyle P,\;\displaystyle Q}$ 兩點，則${\displaystyle PI\cdot QI=AI\cdot IL=2Rr}$，所以${\displaystyle \displaystyle (R+d)(R-d)=2Rr}$，即${\displaystyle \displaystyle d^{2}=R(R-2r)}$。