梅森數是形如2n-1的數(n是正整數),記為;如果梅森數是質數就稱梅森質數(英語:Mersenne prime)。
More information n ...
梅森預測表:n≤263
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P : Mn是梅森質數 — : Mn是梅森合數 青色:顯示正確 粉紅色:顯示錯誤
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n
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2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19
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Mn
|
P |
P |
P |
P |
— |
P |
P |
P
|
n
|
23 |
29 |
31 |
37 |
41 |
43 |
47 |
53
|
Mn
|
— |
— |
P |
— |
— |
— |
— |
—
|
n
|
59 |
61 |
67 |
71 |
73 |
79 |
83 |
89
|
Mn
|
— |
P |
— |
— |
— |
— |
— |
P
|
n
|
97 |
101 |
103 |
107 |
109 |
113 |
127 |
131
|
Mn
|
— |
— |
— |
P |
— |
— |
P |
—
|
n
|
137 |
139 |
149 |
151 |
157 |
163 |
167 |
173
|
Mn
|
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—
|
n
|
179 |
181 |
191 |
193 |
197 |
199 |
211 |
223
|
Mn
|
— |
— |
— |
— |
— |
— |
— |
—
|
n
|
227 |
229 |
233 |
239 |
241 |
251 |
257 |
263
|
Mn
|
— |
— |
— |
— |
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—
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| 此條目 需要補充更多來源。 (2013年3月17日) |
梅森數是根據17世紀法國數學家馬蘭·梅森的名字命名,他列出了n≤257的梅森質數,不過他錯誤包括了不是梅森質數的M67和M257,而遺漏了M61、M89和M107。
n為合數時,一定為合數(當a整除b時,一定整除,反之亦然)。但n為質數時,不一定皆為質數,如和是質數,但不是質數。
截至2018年12月已知51個梅森質數,最大的是282589933-1[1]。從1997年至今,所有新的梅森質數都由互聯網梅森質數大搜索(GIMPS)分佈式計算項目發現。
- 。
- q≡3mod4為質數。則2q+1是質數的充分必要條件是2q+1整除Mq ,因此對於這些質數q(除了3),Mq不可能會是質數,前幾個這樣的質數q為11、23、83、131、179、191、239、251、359、419、431、443、491、659、683、719、743、911、1019、1031、1103、1223、1439、1451、1499、… (OEIS數列A002515)
- 拉馬努金-南哥爾方程(Ramanujan–Nagell Equation):Mq=6+x2。當q為3、5和7時,Mq為梅森質數,方程有整數解;q為合數4和15時,方程亦有整數解;q為其它自然數時,方程沒有整數解。
- 如果p是奇質數,任何能整除2p − 1的質數q都一定是2p的倍數加1,如211 − 1=23×89,而23=1+2×11,89=1+8×11。
- 如果p是奇質數,任何能整除2p − 1的質數q都一定與同餘。
下面的命題關注什麼梅森數是梅森質數。
- 由知:「q是質數」是「Mq是質數」的必要條件,但不是充分條件。M11=211 − 1=23×89是最小的反例。
- 對Mq(q是質數)有:
- 若a是Mq的因數,則a有如下性質:
- a ≡ 1 mod 2q
- a ≡ ±1 mod 8
- 形如6k+1的數有歐拉理論表明:當且僅當有數對(x,y)使Mq=(2x)2+3(3y)2,Mq是質數,其中q≥5。
- 最近,Bas jansen研究了等式Mq=x2+dy2(0≤d≤48),得出了d=3時的新證明方法。
- Reix發現q>3時,Mq可寫成Mq=(8x)2-(3qy)2=(1+Sq)2-(Dq)2;顯然,若有數對(x,y),Mq就是質數。
- Mn為質數當且僅當Mn整除Sn-2(S0=4,Sk=S2k−1 − 2,k>0),此數列為4、14、194、37634、1416317954、2005956546822746114、4023861667741036022825635656102100994、…(OEIS數列A003010)
- 梅森質數與偶完全數有一一對應的關係,稱為歐幾里得-歐拉定理。
- 前4世紀,歐幾里得(Euclid)證明如果M是梅森質數,則是完全數。
- 18世紀,歐拉(Euler)證明所有偶完全數都有這種形式。
- 頭四個梅森質數M2、M3、M5、M7在古代已知。
- 第五個梅森質數M13在1461年之前發現;
- M17和M19兩數隨後在1588年由Cataldi發現。
- 17世紀法國數學家馬蘭·梅森列出了他認為的冪小於等於257的梅森質數,其中錯誤包括了不是質數的M67和M257,遺漏了M61、M89和M107。這也是「梅森質數」一名的由來。
- 一個多世紀後的1750年,才由歐拉證實M31是第8個梅森質數。
- 下個發現的梅森質數是由盧卡斯在1876年證明的M127;
- 1883年,Pervushin證實M61。
- M89和M107在20世紀早期由Powers分別在1911年和1914年發現。
- 發明電子計算機改革了梅森質數的尋找過程。第一項成功例子是證明M521,它由萊默指導,用拉斐爾·米切爾·羅賓遜教授編寫的軟件,利用坐落在洛杉磯加利福尼亞大學的數據分析協會的,屬於美國國家標準局的西部自動計算機(SWAC)於1952年1月30日晚上10:00獲得,並且在隨後不到兩小時發現下個梅森質數M607。在隨後的幾個月裏,使用同樣的程序發現了另外三個梅森質數M1279、M2203和M2281。
- 質數P值增大,搜尋梅森質數MP的過程都艱辛無比,但各國科學家及業餘研究者仍樂此不疲,激烈競爭;1979年2月23日,當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣佈找到第26個梅森質數M23209時才知諾爾在兩星期前已得到這結果。
- 為此,史洛溫斯基潛心發憤,花了一個半月用CRAY-1型計算機找到新梅森質數M44497,這紀錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。
- 他之後乘勝前進,使用改進了的CRAY-XMP型計算機在1983年至1985年間找到3個梅森質數M86243、M132049和M216091,但未能確定M86243和M216091之間是否有異於M132049的梅森質數。而到了1988年,科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速並行計算機果然捉到「漏網之魚」M110503。
- 沉寂4年後,1992年3月25日,英國原子能技術權威機構哈威爾實驗室有研究小組宣佈找到梅森質數M756839。
- 1994年1月14日,史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現「已知最大質數」的桂冠——M859433;而下個梅森質數M1257787仍是他們的成果,用CRAY-794超級計算機在1996年找到。
- 到2018年12月已知51個梅森質數;現在已知最大的質數是梅森質數M82589933,像前幾個一樣都是由互聯網梅森質數大搜索(GIMPS)分佈式計算項目發現。
- 2010年7月11日GIMPS確認M2099萬6011是第40個梅森質數。[2]
- 2011年12月1日GIMPS確認M2403萬6583是第41個梅森質數。[2]
- 2012年12月20日GIMPS確認M2596萬4951是第42個梅森質數。[2]
- 2013年1月25日GIMPS發現M5788萬5161[2]
- 2014年2月23日GIMPS確認M3040萬2457是第43個梅森質數。[2]
- 2014年11月8日GIMPS確認M3258萬2657是第44個梅森質數。[2]
- 2016年1月7日GIMPS發現M7420萬7281[2]
- 2018年1月3日GIMPS發現的M7723萬2917有23249425位數[3]。
- 2018年12月7日GIMPS的M8258萬9933有24862048位數[1]。
古代知道的梅森質數
以試除法發現的梅森質數
梅森遺漏的梅森質數
GIMPS發現的梅森質數
拉斐爾·米切爾·羅賓遜發現的梅森質數
亞歷山大·赫維茲發現的梅森質數
Donald B. Gillies發現的梅森質數
Walt Colquitt和Luke Welsh發現的梅森質數
下表列出所有已知的梅森質數: A000668
More information 序, n ...
序
|
n
|
Mn
|
Mn的位數
|
發現日期
|
發現者
|
算法
|
1
|
2
|
3
|
1
|
公元前5世紀
|
古希臘數學家
|
|
2
|
3
|
7
|
1
|
公元前5世紀
|
古希臘數學家
|
|
3
|
5
|
31
|
2
|
公元前3世紀
|
古希臘數學家
|
|
4
|
7
|
127
|
3
|
公元前3世紀
|
古希臘數學家
|
|
5
|
13
|
8191
|
4
|
1456年
|
無名氏
|
試除法
|
6
|
17
|
131071
|
6
|
1588年
|
彼得羅·卡塔爾迪
|
試除法
|
7
|
19
|
524287
|
6
|
1588年
|
彼得羅·卡塔爾迪
|
試除法
|
8
|
31
|
2147483647
|
10
|
1772年
|
萊昂哈德·歐拉
|
最佳化的試除法
|
9
|
61
|
2305843009213693951
|
19
|
1883年
|
伊萬·波佛辛
|
盧卡斯數列
|
10
|
89
|
618970019642690137449562111
|
27
|
1911年
|
拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯
|
盧卡斯數列
|
11
|
107
|
162259276829213363391578010288127
|
33
|
1914年
|
拉爾夫·歐內斯特·鮑爾斯
|
盧卡斯數列
|
12
|
127
|
170141183460469231731687303715884105727
|
39
|
1876年
|
愛德華·盧卡斯
|
盧卡斯數列
|
13
|
521
|
686479766013…291115057151
|
157
|
1952年1月30日
|
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
14
|
607
|
531137992816…219031728127
|
183
|
1952年1月30日
|
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
15
|
1279
|
104079321946…703168729087
|
386
|
1952年6月25日
|
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
16
|
2203
|
147597991521…686697771007
|
664
|
1952年10月7日
|
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
17
|
2281
|
446087557183…418132836351
|
687
|
1952年10月9日
|
拉斐爾·米切爾·羅賓遜
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
18
|
3217
|
259117086013…362909315071
|
969
|
1957年9月8日
|
Hans Riesel
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
19
|
4253
|
190797007524…815350484991
|
1281
|
1961年11月3日
|
亞歷山大·赫維茲
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
20
|
4423
|
285542542228…902608580607
|
1332
|
1961年11月3日
|
亞歷山大·赫維茲
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
21
|
9689
|
478220278805…826225754111
|
2917
|
1963年5月11日
|
Donald B. Gillies
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
22
|
9941
|
346088282490…883789463551
|
2993
|
1963年5月16日
|
Donald B. Gillies
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
23
|
1萬1213
|
281411201369…087696392191
|
3376
|
1963年6月2日
|
Donald B. Gillies
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
24
|
1萬9937
|
431542479738…030968041471
|
6002
|
1971年3月4日
|
布萊恩特·塔克曼
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
25
|
2萬1701
|
448679166119…353511882751
|
6533
|
1978年10月30日
|
Landon Curt Noll & Laura Nickel
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
26
|
2萬3209
|
402874115778…523779264511
|
6987
|
1979年2月9日
|
Landon Curt Noll
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
27
|
4萬4497
|
854509824303…961011228671
|
1萬3395
|
1979年4月8日
|
Harry Nelson & David Slowinski
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
28
|
8萬6243
|
536927995502…209433438207
|
2萬5962
|
1982年9月25日
|
David Slowinski
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
29
|
11萬0503
|
521928313341…083465515007
|
3萬3265
|
1988年1月28日
|
Walt Colquitt & Luke Welsh
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
30
|
13萬2049
|
512740276269…455730061311
|
3萬9751
|
1983年9月20日
|
David Slowinski
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
31
|
21萬6091
|
746093103064…103815528447
|
6萬5050
|
1985年9月6日
|
David Slowinski
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
32
|
75萬6839
|
174135906820…328544677887
|
22萬7832
|
1992年2月19日
|
David Slowinski & Paul Gage
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
33
|
85萬9433
|
129498125604…243500142591
|
25萬8716
|
1994年1月10日
|
David Slowinski & Paul Gage
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
34
|
125萬7787
|
412245773621…976089366527
|
37萬8632
|
1996年9月3日
|
David Slowinski & Paul Gage
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
35
|
139萬8269
|
814717564412…868451315711
|
42萬0921
|
1996年11月13日
|
GIMPS/Joel Armengaud
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
36
|
297萬6221
|
623340076248…743729201151
|
89萬5932
|
1997年8月24日
|
GIMPS/Gordon Spence
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
37
|
302萬1377
|
127411683030…973024694271
|
90萬9526
|
1998年1月27日
|
GIMPS/Roland Clarkson
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
38
|
697萬2593
|
437075744127…142924193791
|
209萬8960
|
1999年6月1日
|
GIMPS/Nayan Hajratwala
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
39
|
1346萬6917
|
924947738006…470256259071
|
405萬3946
|
2001年11月14日
|
GIMPS/Michael Cameron
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
40
|
2099萬6011
|
125976895450…762855682047
|
632萬0430
|
2003年11月17日
|
GIMPS/Michael Shafer
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
41
|
2403萬6583
|
299410429404…882733969407
|
723萬5733
|
2004年5月15日
|
GIMPS/Josh Findley
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
42
|
2596萬4951
|
122164630061…280577077247
|
781萬6230
|
2005年2月18日
|
GIMPS/Martin Nowak
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
43
|
3040萬2457
|
315416475618…411652943871
|
915萬2052
|
2005年12月15日
|
GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
44
|
3258萬2657
|
124575026015…154053967871
|
980萬8358
|
2006年9月4日
|
GIMPS/Curtis Cooper及Steven Boone
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
45
|
3715萬6667
|
202254406890…022308220927
|
1118萬5272
|
2008年9月6日
|
GIMPS/Hans-Michael Elvenich
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
46
|
4264萬3801
|
169873516452…765562314751
|
1283萬7064
|
2009年4月12日[註 1]
|
GIMPS/Odd M. Strindmo
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
47
|
4311萬2609
|
316470269330…166697152511
|
1297萬8189
|
2008年8月23日
|
GIMPS/Edson Smith
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
48
|
5788萬5161
|
581887266232…071724285951
|
1742萬5170
|
2013年1月25日
|
GIMPS/Curtis Cooper
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
49*
|
7420萬7281
|
300376418084…391086436351
|
2233萬8618
|
2015年9月17日[註 2]
|
GIMPS/Curtis Cooper
|
盧卡斯-萊默檢驗法
|
50*
|
7723萬2917
|
467333183359…069762179071
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2324萬9425
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2017年12月26日
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GIMPS/Jon Pace
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盧卡斯-萊默檢驗法
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51*
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8258萬9933
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148894445742…325217902591
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2486萬2048
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2018年12月7日
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GIMPS/Patrick Laroche
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盧卡斯-萊默檢驗法
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註:現在還不知道第48個梅森質數(M57885161)和第51個(M82589933)間是否還有未知梅森質數,其序號用*標出,如有會通知遞補。