極坐標系

在數學中，極坐標系（英語：polar coordinate system）是一個二維坐標系統。該坐標系統中任意位置可由一個夾角和一段相對原點—極點的距離來表示。極坐標系的應用領域十分廣泛，包括數學、物理、工程、航海、航空、電腦以及機械人領域。在兩點間的關係用夾角和距離很容易表示時，極坐標系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標系中，這樣的關係就只能使用三角函數來表示。對於很多類型的曲線，極坐標方程是最簡單的表達形式，甚至對於某些曲線來說，只有極坐標方程能夠表示。

在極點為O、極軸為L的極坐標系裏，點（3, 60°）的徑向座標為3、角座標為60°，點（4, 210°）的徑向座標為4、角座標為210°。

歷史

主條目：三角函數的歷史

希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學家喜帕恰斯（190-120 BC）製成了一張求各角所對弦的弦長函數的表格。並且，曾有人引用了他的極坐標系來確定恆星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻，儘管最終並沒有建立整個坐標系統。

關於是誰首次將極坐標系應用為一個正式的坐標系統，流傳着有多種觀點。關於這一問題的較詳盡歷史，哈佛大學教授朱利安·科利奇（Julian Coolidge）的《極坐標系起源》^[1][2]作了闡述。格雷瓜·德·聖-萬桑特（Grégoire de Saint-Vincent）和博納文圖拉·卡瓦列里，被認為在幾乎同時、並獨立地各自引入了極坐標系這一概念。聖-萬桑特在1625年的私人文稿中進行了論述並發表於1647年，而卡瓦列里在1635進行了發表，而後又於1653年進行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標系來解決一個關於阿基米德螺線內的面積問題。布萊士·帕斯卡隨後使用極坐標系來計算拋物線的長度。

在1671年寫成，1736年出版的《流數術和無窮級數》（Method of Fluxions）一書中，艾薩克·牛頓第一個將極坐標系應用於表示平面上的任何一點。牛頓在書中驗證了極坐標和其他九種坐標系的變換關係。在1691年出版的《博學通報》（Acta eruditorum，Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點和從定點引出的一條射線，定點稱為極點，射線稱為極軸。平面內任何一點的坐標都通過該點與定點的距離和與極軸的夾角來表示。伯努利通過極坐標系對曲線的曲率半徑進行了研究。

實際上應用「極坐標」（polar coordinate system）這個術語的是由格雷古廖·豐塔納（Gregorio Fontana）開始的，並且被18世紀的意大利數學家所使用。該術語是由喬治·皮科克（George Peacock）在1816年翻譯席維斯·拉克魯克斯（Sylvestre François Lacroix）的《微分學與積分學》（Traité du calcul différentiel et du calcul intégral）^[3][4][5] 一書時，被翻譯為英語的。

亞歷克西斯·克萊羅和萊昂哈德·歐拉被認為是將平面極坐標系擴展到三維空間的數學家。

點的表示

正如所有的二維坐標系，極坐標系也有兩個坐標軸：${\displaystyle r}$（半徑坐標）和${\displaystyle \theta }$（角坐標、極角或方位角，有時也表示為${\displaystyle \phi }$或${\displaystyle t}$）。${\displaystyle r}$坐標表示與極點的距離，${\displaystyle \theta }$坐標表示按逆時針方向坐標距離0°射線（有時也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標系中的x軸正方向。^[6]

比如，極坐標中的（3, 60°）表示了一個距離極點3個單位長度、和極軸夾角為60°的點。（−3, 240°）和(3, 60°)表示了同一點，因為該點的半徑為在夾角射線反向延長線上距離極點3個單位長度的地方（240° − 180° = 60°）。

極坐標系中一個重要的特性是，平面直角坐標中的任意一點，可以在極坐標系中有無限種表達形式。通常來說，點（r, θ）可以任意表示為（r, θ ± n×360°）或(−r, θ ± (2n + 1)180°)，這裏n是任意整數。^[7]如果某一點的r坐標為0，那麼無論θ取何值，該點的位置都落在了極點上。

使用弧度單位

每隔30°標記一次角度的極坐標網格。

極坐標系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式2π rad= 360°。具體使用哪一種方式，基本都是由使用場合而定。航海方面經常使用角度來進行測量，而物理學的某些領域大量使用到了半徑和圓周的比來作運算，所以物理方面更傾向使用弧度。^[8]

極坐標系與平面直角坐標系之間的變換

極坐標與直角坐標之間的關係。

從極坐標${\displaystyle r}$和${\displaystyle \theta }$可以變換為直角坐標：

${\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad }$（參閱畢氏定理）

${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (y,x)\quad }$（atan2是已將象限納入考量的反正切函數）

或

${\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\0&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0\end{cases}}}$

從直角坐標${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$也可以變換為極坐標：

${\displaystyle x=r\cos \theta }$

${\displaystyle y=r\sin \theta }$

這方程式給出${\displaystyle \theta }$在值域${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$的弧度。^[9]改用角度單位，值域為${\displaystyle (-180^{\circ },180^{\circ }]}$。這些方程式假定極點是直角坐標系的原點${\displaystyle (0,0)}$，極軸為x-坐標軸，而y-坐標軸方向的弧度為${\displaystyle +\pi /2}$，角度為${\displaystyle +90^{\circ }}$。

大多數常用程式語言會特別設定一個函數，專門從${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$坐標計算出正確的角坐標${\displaystyle \theta }$。例如，在C語言裏，這函數標記為atan2(y,x)，在Common Lisp裏，標記為(atan y x)。對於這兩種案例，計算結果是在值域${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$內的弧度。這${\displaystyle \theta }$的數值是複函數輻角的主值（principal value），注意到當${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$都等於零時，輻角沒有定義值；對於這案例，為了方便起見，將輻角設定為零。

假若需要，將角坐標${\displaystyle \theta }$在值域${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$的數值加上${\displaystyle \pi }$，則可得到在值域${\displaystyle [0,2\pi )}$的數值。

極坐標系方程

• 函數：用極坐標系描述的曲線方程稱作極坐標方程，通常表示為r為自變量θ的函數。

• 對稱：極坐標方程經常會表現出不同的對稱形式，如果r(−θ) = r（θ），則曲線關於極點（0°/180°）對稱，如果r(π−θ) = r(θ)，則曲線關於極點（90°/270°）對稱，如果r(θ−α) = r(θ)，則曲線相當於從極點逆時針方向旋轉α°。

圓

方程為${\displaystyle r(\theta )=1}$的圓。

在極坐標系中，圓心在（r₀, ${\displaystyle \varphi }$）半徑為a的圓的一般方程為

${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}}$

特定情況：比如方程

${\displaystyle r(\theta )=a}$

表示一個以極點為中心半徑為a的圓。^[10]

推導

設圓的半徑為${\displaystyle r}$，圓心的極坐標為${\displaystyle (p_{0},\alpha )}$，並變換為直角坐標：${\displaystyle (p_{0}\cos \alpha ,p_{0}\sin \alpha )}$。則圓上的點的直角坐標系方程為：

${\displaystyle (x-p_{0}\cos \alpha )^{2}+(y-p_{0}\sin \alpha )^{2}=r^{2}}$

設圓上的點的極坐標為${\displaystyle (p,\beta )}$，則

${\displaystyle x=p\cos \beta ,\qquad y=p\sin \beta }$

因此，

${\displaystyle p^{2}-2pp_{0}(\sin \beta \sin \alpha +\cos \beta \cos \alpha )+p_{0}^{2}=r^{2}}$，

化簡為

${\displaystyle p^{2}+p_{0}^{2}-2pp_{0}\cos(\beta -\alpha )=r^{2}}$

直線

過極點的射線方程：

${\displaystyle \theta =\varphi }$,

其中φ為射線的傾斜角。若m為直角坐標系的射線的斜率，則有φ = arctan m。任何不經過極點的直線都會與某條射線垂直。^[11] 這些在點（r₀, φ）處的直線與射線θ = φ垂直，其方程為

${\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )}$.

玫瑰線

一條方程為r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰線。

極坐標的玫瑰線（polar rose）是數學曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標方程來描述，方程如下：

${\displaystyle r(\theta )=a\cos k\theta }$或者

${\displaystyle r(\theta )=a\sin k\theta }$

如果k是整數，當k是奇數時那麼曲線將會是k個花瓣，當k是偶數時曲線將是2k個花瓣。如果k為非整數，將產生圓盤狀圖形，且花瓣數也為非整數。注意：該方程不可能產生4的倍數加2（如2，6，10……）個花瓣。變量a代表玫瑰線花瓣的長度。

阿基米德螺線

方程r(θ) = θ（0<θ<6π）的一條阿基米德螺線。

阿基米德螺線在極坐標里使用以下方程表示：

${\displaystyle r(\theta )=a+b\theta }$

改變參數a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常數。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ>0，另一條θ<0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉 90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。

圓錐曲線

橢圓，展示了半正焦弦

圓錐曲線方程如下：

${\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}$

其中${\displaystyle \ell }$表示半正焦弦，e表示離心率。

如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。

${\displaystyle r={ep \over (1-e\cos \theta )}}$

其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。

其他曲線

由於坐標系統是基於圓環的，所以許多有關曲線的方程，極坐標要比直角坐標系（笛卡爾形式）簡單得多。比如伯努利雙紐線，蚶線（limaçon），還有心臟線。

複數

複數的通常矩形形式為a + bi，在極坐標中也可以表示為兩種不同的方式：

1. ${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )}$，簡寫為${\displaystyle r\operatorname {cis} \theta }$
2. ${\displaystyle re^{i\theta }}$

等同於歐拉公式。^[12] 複數在直角坐標系和極坐標系的變換通過以下公式實現：

${\displaystyle a=r\cos \theta }$

${\displaystyle b=r\sin \theta }$

其中${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

複數的乘法、除法以及指數以及開方運算，在極坐標中會比在直角坐標中容易得多，他們分別是：

• 乘法：${\displaystyle (r\operatorname {cis} \theta )*(R\operatorname {cis} \varphi )=rR\operatorname {cis} (\theta +\varphi )}$
• 除法：${\displaystyle {\frac {r\operatorname {cis} \theta }{R\operatorname {cis} \varphi }}={\frac {r}{R}}\operatorname {cis} (\theta -\varphi )}$
• 指數（狄默夫定理，De Moivre's formula）: ${\displaystyle (r\operatorname {cis} \theta )^{n}=r^{n}\operatorname {cis} (n\theta )}$

微積分

微積分可適用於極坐標系下表達的等式。^[13][14]

微分

利用x = r cos θ 以及y = r sin θ ，我們可以得出極坐標下的微分和直角坐標下微分的關係。給定一函數u(x,y)，通過計算其全微分可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial r}}+r{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial r}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \theta }}&={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial \theta }},\end{aligned}}}$

或

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial u}{\partial r}}&=r{\frac {\partial u}{\partial x}}\cos \theta +r{\frac {\partial u}{\partial y}}\sin \theta =x{\frac {\partial u}{\partial x}}+y{\frac {\partial u}{\partial y}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial \theta }}&=-{\frac {\partial u}{\partial x}}r\sin \theta +{\frac {\partial u}{\partial y}}r\cos \theta =-y{\frac {\partial u}{\partial x}}+x{\frac {\partial u}{\partial y}}.\end{aligned}}}$

於是，我們可以得到下述關係：

${\displaystyle {\begin{aligned}r{\frac {\partial }{\partial r}}&=x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial \theta }}&=-y{\frac {\partial }{\partial x}}+x{\frac {\partial }{\partial y}}.\end{aligned}}}$

利用坐標逆轉換，可以得到類似的反向關係。給定一函數u(r,θ)，我們有

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial y}},\end{aligned}}}$

或

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\cos \theta {\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }},\\[2pt]{\frac {\partial u}{\partial y}}&={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\\[2pt]&=\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}.\end{aligned}}}$

於是，

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}&=\cos \theta {\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{r}}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial y}}&=\sin \theta {\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\cos \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}.\end{aligned}}}$

對一條極坐標下曲線r(θ)，要得到其在直角坐標下的切線斜率，先用參數方程表述該曲線：

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(\theta )\cos \theta \\y&=r(\theta )\sin \theta \end{aligned}}}$

把兩個等式對 θ 求導，得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\theta }}&=r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta \\[2pt]{\frac {dy}{d\theta }}&=r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta .\end{aligned}}}$

用第一條等式除第二條，可得曲線在(r(θ), θ)上切線的斜率。

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\theta )\sin \theta +r(\theta )\cos \theta }{r'(\theta )\cos \theta -r(\theta )\sin \theta }}.}$

向量微積分

向量微積分也可以應用到極坐標。對於平面運動，令${\displaystyle \mathbf {r} }$為位置向量${\displaystyle (r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))}$，由r與隨時間t變化的${\displaystyle \theta }$表達，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$是${\displaystyle \mathbf {r} }$方向上的單位向量，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$是以${\displaystyle \mathbf {r} }$為起始順時針旋轉的角度單位向量。第一和第二個位置的表達式是：

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}},}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}.}$

令${\displaystyle \mathbf {A} }$為被一條連接焦點與曲線上一點的線所劃分出的區域，則${\displaystyle d\mathbf {A} }$就是由${\displaystyle \mathbf {r} }$和${\displaystyle d\mathbf {r} }$所構平行四邊形區域的一半。

${\displaystyle dA={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}|\mathbf {r} \times d\mathbf {r} |}$,

所以，整個區域就是${\displaystyle d\mathbf {A} }$關於時間的積分。

極坐標與球坐標和圓柱坐標的聯繫

極坐標系可被擴展到三維空間中，形成圓柱坐標系和球坐標系兩個不同的坐標系。

圓柱坐標系

用圓柱座標 ${\displaystyle (\rho ,\ \varphi ,\ z)}$ 來表示一個點的位置

與將直角坐標系擴展為三維的方法相似，圓柱坐標系是在二維極坐標系的基礎上增添了第三條用於測量高於平面的點的高度的坐標所構成的。這第三條坐標通常也表示為z。所以圓柱坐標表示為（ρ, φ, z）。

通過以下公式，可以從直角坐標變換為圓柱坐標：

${\displaystyle {x}={\rho }\,\cos \varphi }$

${\displaystyle {y}={\rho }\,\sin \varphi }$

${\displaystyle {z}={z}}$

球坐標系

用球座標 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ \varphi )}$ 來表示一個點的位置

球坐標系也可以運用坐標（r, θ, φ）擴展為三維，其中r是距離球心的距離，θ是距離z軸的角度（稱作餘緯度或頂角，角度從0到180°），φ是距離x軸的角度（與極坐標中一樣）。這個坐標系被稱作球坐標系，與用於地球的經度和緯度相似，緯度就是餘角θ，取決於δ＝90°－θ，經度可通過λ=φ-180°算得。^[15]

通過以下公式，可以從直角坐標變換為球坐標：

${\displaystyle x=r\,\sin \theta \,\cos \varphi }$

${\displaystyle y=r\,\sin \theta \,\sin \varphi }$

${\displaystyle z=r\,\cos \theta }$

應用

定位和導航

極坐標通常被用於導航，作為旅行的目的地或方向可以作為從所考慮的物體的距離和角度。例如，飛機使用極坐標的一個略加修改的版本進行導航。這個系統中是一般的用於導航任何種類中的一個系統，在0°射線一般被稱為航向360，並且角度是以順時針方向繼續，而不是逆時針方向，如同在數學系統那樣。航向360對應地磁北極，而航向90，180，和270分別對應於磁東，南，西。^[16]因此，一架飛機向正東方向上航行5海里將是在航向90（空中交通管制讀作090）上航行5個單位。^[17]

建模

有徑向對稱的系統提供了極坐標系的自然設置，中心點充當了極點。這種用法的一個典型例子是在適用於徑向對稱的水井時候的地下水流方程（英語：Groundwater flow equation）。有徑向力的系統也適合使用極坐標系。這些系統包括了服從平方反比定律的引力場，以及有點源的系統，如無線電天線。

行星運動的開普勒定律

開普勒第二定律

更多資訊：開普勒行星運動定律

極坐標提供了一個表達在引力場中開普勒行星運行定律的自然的方法。開普勒第一定律表明，環繞一顆恆星運行的行星軌道形成了一個橢圓，這個橢圓的一個焦點在質心上。上面所給出的二次曲線部分的等式可用於表達這個橢圓。開普勒第二定律表明，連接行星和它所環繞的恆星的線在等時間間隔所劃出的區域是面積相等的，即${\displaystyle d\mathbf {A} \over dt}$是常數。這些等式可由牛頓運動定律推得。在開普勒行星運動定律中有相關運用極坐標的詳細推導。

相關內容

• 數學主題

• 曲線坐標系（英語：Curvilinear coordinates）
• 圓柱坐標系
• 球坐標系

參考資料

普遍的參考資料

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• Anton, Howard; Irl Bivens, Stephen Davis. Calculus Seventh. Anton Textbooks, Inc. 2002. ISBN 0-471-38157-8. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
• Finney, Ross; George Thomas, Franklin Demana, Bert Waits. Calculus: Graphical, Numerical, Algebraic Single Variable Version. Addison-Wesley Publishing Co. June 1994. ISBN 0-201-55478-X. 引文使用過時參數coauthors (幫助)

特定的參考資料

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2. Coolidge, Julian. The Origin of Polar Coordinates. American Mathematical Monthly. 1952, 59: 78–85.
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4. Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. [2006-09-10]. （原始內容存檔於1999-10-03）.
5. Smith, David Eugene. History of Mathematics, Vol II. Boston: Ginn and Co. 1925: 324.
6. Brown, Richard G. Andrew M. Gleason , 編. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell Inc. 1997. ISBN 978-0-395-77114-3.
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8. Serway, Raymond A. and Jewett, Jr., John W. Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. 2005. ISBN 978-0-534-49143-7.
9. Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. The Student's Introduction to Mathematica. Cambridge University Press. 1999. ISBN 0-521-59461-8. 引文使用過時參數coauthors (幫助)
10. Polar coordinates. [2006-05-25]. （原始內容存檔於2006-04-27）.
11. Ward, Robert L. Analytic Geometry: Polar Coordinates. [2006-05-25]. （原始內容存檔於2019-10-09）.
12. Smith, Julius O. Euler's Identity. Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. 2003 [2006-09-22]. ISBN 978-0-9745607-0-0. （原始內容存檔於2006-09-15）.
13. Husch, Lawrence S. Areas Bounded by Polar Curves. [2006-11-25]. （原始內容存檔於2000-03-01）.
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