在初等三維曲線的微分幾何中,一條曲線的扭率(torsion,或譯扭率)度量了其扭曲的程度,即偏離平面曲線的程度。空間曲線的曲率和扭率在一起,與平面曲線的曲率類似。例如,他們都是弗勒內標架的微分方程組中的系數,由弗勒內-塞雷公式給出。
定義
設 C 是一條用弧長參數給出的空間曲線,單位切向量為。如果在某一點 C 的曲率不等於 0,那麼主法向量和次法向量分別是
其中撇號代表對參數的導數。空間曲線在一點處的切向量和主法向量所張成的平面就是密切平面,密切平面的法向量是曲線的次法向量。如果曲線本身位於一個平面內,那麼這個平面就是曲線的密切平面,相應的次法向量就是常向量。如果曲線不是平面曲線,則不是常向量。因為是單位向量,所以垂直於。又因為,所以,故也垂直於。所以與共線。
扭率度量了次法向量在那一點旋轉的速度。由方程式
得出
註:次法向量的導數垂直於次法向量和切向量,從而和主法向量成比例。式中的負號僅僅是出於習慣,是這個學科歷史發展的副產品。
扭率半徑,通常記為 σ,定義為:
幾何解釋:扭率度量了次法向量的方向的改變。扭率越大,次法向量關於切向量所在的軸的轉動越快。
性質
- 平面曲線的扭率處處為 0;反過來,如果一條正則曲線的扭率處處為 0,那麼這條曲線在一個平面上。
- 螺旋線的曲率和扭率都是常數;反之,任何空間曲線如果其曲率和扭率都是非零常數,必然是螺旋線。扭率為正是右手螺旋,為負是左手螺旋。
- 定傾曲線或稱一般螺線(即切向量與一個固定方向交為定角的曲線)的扭率與曲率之比為常數;反之,如果正則曲線的扭率與曲率之比為常數,那麼曲線必是定傾曲線。
另一種描述
設 r = r(t) 是空間曲線的參數方程式。假設參數是正則的且曲線的曲率處處非 0。精確地說就是,r(t)關於t三次可微,且向量線性無關。
那麼扭率可以由下面的公式表達出來:
這裏撇號表示對 t 求導數,× 號為向量的叉積。對 r = (x, y, z),上述公式的分量形式為
例子:圓螺旋線的曲率、扭率都是常數,分別為
參考文獻
Andrew Pressley, Elementary Differential Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag,2001 ISBN 1-85233-152-6
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.