拉梅函數(Lame functions)是下列拉梅方程的解:[1][2][3]
- 雅可比形式
Lame function Maple animation plot
+
此拉梅方程的正則奇點在複數平面的
其中 p,q ∈Z,K代表模數為k的完全橢圓積分,K'代表模數為
的完全橢圓積分。
其中 k,v 都是實數,並且
,
- 代數形式
作雅可比橢圓函數變數替換
得拉梅方程的代數形式:
,
此傅克型方程有四個正則奇點
- 魏爾斯特拉斯形式[3]
其中
是魏爾斯特拉斯函數
- 三角函數形式
在雅可比形式的拉梅方程中做代換[4]
可得
![{\displaystyle [1-(kcos\zeta )^{2}]{\frac {d^{2}\Lambda }{d\Lambda ^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adf84f8de4985725610c202047ca76f13a9d2737)
在上列方程組
等是實數或複數常數,而各變量為複數。
對於給定的參數v,k,存在四套實數本徵值h,令拉梅方程的奇數解或偶數解有2K或4K周期[5]。
與每一個本徵值對應的本徵函數,稱為v階拉梅函數,其記法及周期性列表於下:[6]
其中
代表在(0,2K)區間內的零點數。
Heun方程
令=
則化為拉梅方程
由於拉梅方程式是Heun方程的特例,因此拉梅方程可以用HeunG函數表示[7]
其中二個HeunG函數是線性無關的。
拉梅函數可以展開成冪級數形式[8]
其中
只能取
- 例子
- 王竹溪 郭敦仁 《特殊函數概論》 北京大學出版 2000
- Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920, Cambridge University Press
- Erdelyi, Higher Transcendental Functions Vol III