懸鏈線
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懸鏈線(Catenary)是一種常用曲線,物理上用於描繪質量均勻分佈而不可延伸的長鏈懸掛在兩支點間,因均勻引力作用下而形成向下彎曲之曲線,因此而得名。
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雖然彎曲的形狀看似二次方的拋物線,但是1638年在伽利略的《Two New Sciences》中證明因為繩子的張力會隨着吊掛重量的不同,在底端為最小、愈高的地方愈大,如此一來,它所形成的形狀就不是拋物線。
隨後在1670年胡克根據力學推導出懸鏈線的數學特性。1691年萊布尼茲、惠更斯、約翰·白努利近一步推導出數學模型。
它的公式為:
或者簡單地表示為
其中cosh是雙曲餘弦函數, 是一個由繩子本身性質和懸掛方式決定的常數,
軸為其準線。具體來說,
,其中
是重力加速度,
是線密度(假設繩子密度均勻),而
是繩子上每一點處張力的水平分量,它取決於繩子的懸掛方式;若繩子兩端在同一水平面上,則下面的方程決定了
其中L是繩子總長的一半,d是端點距離的一半。
方程的推導
表達式的證明
如右圖,設最低點處受水平向左的拉力
,右懸掛點處表示為
點,在
弧線區段任意取一段設為
點,則
受一個斜向上的拉力
,設
和水平方向夾角為
,繩子的質量為
,受力分析有:
;
,
,
, 其中
是右段
繩子的長度,
是繩子線重量密度,
為切線方向,記
, 代入得微分方程
;
利用弧長公式;
所以;
再把代入微分方程得
對於設
微分處理
得
其中;
對(2)分離常量求積分
得,即
其中為反雙曲函數;
當時,
;
帶入得;
整理得
工程中的應用
懸索橋、雙曲拱橋、架空電纜都用到懸鏈線的原理。
在工程中有一種應用,稱作懸鏈係數。如果我們改變公式的寫法,會給工程應用帶來很大幫助,公式及圖像如下:
還有以下幾個公式,可能也有用:
其中是曲線中某點到0點的鏈索長度,
是該點的正切角,
是0點處的水平張力,
是鏈索的單位重量。利用上述公式即能計算出任意點的張力。
參考資料
外部連結
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