泛函分析中,在巴拿赫空間X上有幾種標準拓撲被賦予有界線性算子代數

概述

為巴拿赫空間X上的線性算子序列。考慮這樣的陳述:收斂到X上某算子T,這可能有歧義:

  • ,即算子範數的上確界,其中xX中的單位球面上)收斂到0,就稱一致算子拓撲中。
  • ,就稱強算子拓撲中。
  • 假設X弱拓撲中。這是說,對X上所有連續線性泛函,稱弱算子拓撲中。

B(H)上的拓撲列表

Thumb
有界算子空間上的拓撲關係圖

除上述拓撲外,上還可定義許多拓撲,大多最初只是為希爾伯特空間時才被定義,儘管很多時候都有適當的推廣。 下列拓撲都是局部凸的,即由一族半範數定義。

在數學分析中,若拓撲有很多開集,則稱強拓撲;若有較少的開集,稱為弱拓撲。因此,相應的收斂模式分別是強收斂和弱收斂(拓撲學中可能有相反的含義,或改稱細拓撲與粗拓撲)。 右圖是這些關係的簡單總結,箭頭從強指向弱。

H是希爾伯特空間,則希爾伯特空間有(唯一)預對偶,由跡類算子組成,其對偶是。預對偶中,w為正的半範數定義為

B是向量空間A上線性映射的向量空間,則被定義為A上最弱的拓撲,使B中所有元素都連續。

  • 範數拓撲一致拓撲一致算子拓撲定義為上通常的範數||x||,比下面所有拓撲都強。
  • 弱(巴拿赫空間)拓撲,即使對偶的所有元素都連續的最弱拓撲,是巴拿赫空間上的弱拓撲。它比超弱、弱算子拓撲要強(注意:弱巴拿赫空間拓撲、弱算子拓撲和超弱拓撲有時被統稱為弱拓撲,但它們是不同的)。
  • 麥基拓撲Arens-麥基拓撲上對偶為的最強的局部凸拓撲,也是上的一致收斂拓撲,-緊凸子集。比下面所有拓撲都強。
  • σ-強*拓撲超強*拓撲是比超強拓撲更強的最弱的拓撲,其伴隨映射連續,由的正元素w的半範數族定義。比下面所有拓撲都強。
  • σ強拓撲超強拓撲最強拓撲最強算子拓撲由半範數族定義,w的正元素。除了強*拓撲,它比下面所有拓撲都強。注意:雖然叫「最強拓撲」,但弱於範數拓撲。
  • σ弱拓撲超弱拓撲*算子拓撲弱*拓撲弱拓撲拓撲由半範數|(w, x)|定義,其中w的元素。比弱算子拓撲強(注意:弱巴拿赫空間拓撲、弱算子拓撲和超弱拓撲有時被統稱為弱拓撲,但它們是不同的)。
  • * 算子拓撲*拓撲由半範數||x(h)||、||x*(h)||定義,其中h屬於H。比強、弱算子拓撲都強。
  • 強算子拓撲強拓撲由半範數||x(h)||定義,其中h屬於H。比弱算子拓撲強。
  • 弱算子拓撲弱拓撲由半範數|(x(h1), h2)|定義,其中所有h都屬於H(注意:弱巴拿赫空間拓撲、弱算子拓撲和超弱拓撲有時被統稱為弱拓撲,但它們是不同的)。

拓撲之間的關係

弱、強、強*(算子)拓撲的上的連續線性泛函是相同的,都是線性泛函的有限線性組合。超弱、超強、超強*、Arens-麥基拓撲的上的連續線性泛函是相同的,都是預對偶的元素。

由定義,範數拓撲中的連續線性泛函與弱巴拿赫空間拓撲中的相同。這對偶是個相當大的空間,其中有很多病態元素。

的規範有界集上,弱(算子)、超強拓撲是重合的。比如,這可以從巴拿赫-阿勞格魯定理看出來。出於基本相同的原因,超強拓撲與的任何(規範)有界子集上的強拓撲相同。 Arens-麥基、超強*、強*拓撲也如此。

在局部凸空間中,凸集的封閉性可由連續線性泛函來表徵。因此,對的凸子集 K,在超強*、超強、超弱拓撲中封閉的條件都等價,且也等價於:在強*、強、弱(算子)拓撲中,K與半徑為r的閉球有閉交集。 範數拓撲是可度量化的,其他的則不行。實際上,它們都不是第一可數空間

H可分時,限制在單位球(或任何範數有界子集)上的所有拓撲都可度量化。

使用拓撲

最常用的拓撲是範數拓撲、強、弱算子拓撲。弱算子拓撲對關於緊性證明非常好用,因為據巴拿赫-阿勞格魯定理,單位球是緊的。 範數拓撲是基本拓撲,因為它使稱為巴拿赫空間,但它對很多目的來說太強了。例如在這拓撲中是不可分的。 強算子拓撲可能是最常用的拓撲。

超弱、超強拓撲比弱、強算子拓撲的性質更好,但定義也更複雜,所以除非真的需要這更好的性質,否則通常不會使用。例如,弱、強算子拓撲中的對偶空間太小,沒有什麼解析內容物。

強算子、超強拓撲中,伴隨映射不連續,而強*、超強*拓撲經過修改後則可使伴隨映射連續。它們並不常用。

Arens–麥基拓撲和弱巴拿赫空間拓撲相對少用。

總之,上的3個基本拓撲是範數拓撲、超強拓撲和超弱拓撲。強、弱算子拓撲分別作為後兩者的便捷近似,使用廣泛。其他拓撲則較為少見。

另見

參考文獻

  • Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
  • Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X

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