弱微分

在數學中，弱微分（Weak Derivative）是一個函數的微分（強微分）概念的推廣，它可以作用於那些勒貝格可積（Lebesgue Integrable）的函數，而不必預設函數的可微性（事實上大部分可以弱微分的函數並不可微）。一個典型的勒貝格可積函數的空間是${\displaystyle L^{1}([a,b])}$。在分佈中，可以定義一個更一般的微分概念。

定義

命${\displaystyle u}$是一個在${\displaystyle L^{1}([q,p])\ }$中的勒貝格可積的函數，稱${\displaystyle v\in L^{1}([q,p])}$是${\displaystyle u}$的一個弱微分，如果

${\displaystyle \int _{q}^{p}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{q}^{p}v(t)\varphi (t)dt}$

其中${\displaystyle \varphi }$是任意一個連續可微的函數，並且滿足${\displaystyle \varphi (p)=\varphi (q)=0}$。

推廣到${\displaystyle n}$維的情形，如果${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$是${\displaystyle L_{loc}^{1}(U)}$中的函數（在某個開集${\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}$中局部可積），並且${\displaystyle \alpha }$是一個多重指標，那麼${\displaystyle v}$稱為${\displaystyle u}$的${\displaystyle \alpha }$次弱微分，如果

${\displaystyle \int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi }$

其中${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$是一個任意給定的函數，即給定的支撐集含於${\displaystyle U}$的無窮可微的函數。

如果${\displaystyle u}$的弱微分存在，一般被記為${\displaystyle D^{\alpha }u}$。可以證明，一個函數的弱微分在測度意義是唯一的，即如果有兩個不同的弱微分，其僅可能在一個零測集上存在差異。

例子

函數 ${\displaystyle u:[-1,1]\to [0,1]:t\mapsto u(t)=|t|}$ 在 ${\displaystyle t=0}$ 並不可微，但具有以下被稱為符號函數的弱微分：

${\displaystyle v:[-1,1]\to [-1,1]:t\mapsto v(t)={\begin{cases}1\quad &{\textrm {if}}\,t>0\\0\quad &{\textrm {if}}\,t=0\\-1\quad &{\textrm {if}}\,t<0\\\end{cases}}}$

性質

如果兩個函數是相同函數的弱導數，那麼它們除了在一個勒貝格測度為零的集合上以外相等，也就是說，它們幾乎處處相等。如果我們考慮函數的等價類，其中兩個函數是等價的如果它們幾乎處處相等，那麼弱導數是唯一的。

此外，如果u是可微的，那麼它的弱導數與導數相同。因此弱導數是導數的推廣。更進一步，兩個函數的和與積的導數公式對弱導數也是成立的。

參見

• 次導數

參考文獻

• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. 2001: 149. ISBN 3-540-41160-7.
• Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1998: 242. ISBN 0-8218-0772-2.
• Knabner, Peter; Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. 2003: 53. ISBN 0-387-95449-X.