局部體
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在數學上,局部體是一類特別的體,它有非平凡的絕對值,此絕對值賦予的拓撲是局部緊的。局部體可粗分為兩類:一種的絕對值滿足阿基米德性質(稱作阿基米德局部體),另一種的絕對值不滿足阿基米德性質(稱作非阿基米德局部體)。在數論中,數體的完備化給出局部體的典型例子。
非阿基米德局部體
設為非阿基米德局部體,而
為其絕對值。關鍵在下述對象:
- 閉單位球:
,或其整數環
,這是個緊集。
- 整數環裏的單位元:
- 開單位球:
,這同時是其整數環裏唯一的極大理想,也記作
。
上述對象與賦值環的構造相呼應;事實上,可證明必存在實數及離散賦值
,使得
.
可取唯一的使得
為滿射,稱之為正規化賦值。
從此引出非阿基米德局部體的另一個等價定義:一個體,帶離散賦值
,使得
成為完備的拓撲體,而且剩餘體有限。
這類局部體的行為可由局部類體論描述。
分類
局部體的完整分類如次:
文獻
- Milne, James, Algebraic Number Theory.
- Serre, Jean-Pierre. Corps locaux. Hermann. 1968.