在幾何學中,對頂角是兩個角之間的一種位置關係。兩條直線相交時會產生一個交點,並產生以這個交點為頂點的四個角。稱其中不相鄰的兩個角互為對頂角。或者說,其中的一個角是另一個的對頂角。
相交直線產生的對頂角
對頂角滿足下列定理:兩直線相交,對頂角相等。
用數學語言描述就是(如右圖):
- 設直線AD、BC交於點O。則形成四個角:∠AOB、∠COD、∠AOC、∠BOD。其中,∠AOB和∠COD互為對頂角,∠AOC和∠BOD互為對頂角。∠AOB = ∠COD,∠AOC = ∠BOD。
歷史
古希臘數學家泰勒斯。
泰勒斯生於希臘,是一位擅長於幾何學的數學家及哲學家。他一生發現了多個幾何學定理,包括等腰三角形中的「等邊對等角」定理,也包括對頂角定理。
對頂角定理的證明
設直線AD、BC交於點O,那麼,∠AOB和∠AOC 互為鄰補角。根據鄰補角的性質,
![{\displaystyle \angle AOB+\angle AOC=\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4074cd7eab65d326920eafd209a35e037181488f)
其中
是一個平角的弧度數。
類似地,∠COD和∠AOC 互為鄰補角。根據鄰補角的性質,
![{\displaystyle \angle COD+\angle AOC=\pi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8e1c493e9627e265571a09a7eebacf99ee99c1e)
因此,
兩邊減去相同的角度
後,就得到
。
同樣地,可以證明
。
用途
一對全等三角形。
對頂角通常用於測量角度以及證明全等三角形。以下是一個利用對頂角證明全等三角形的例子:
如右圖,已知AB=CD,∠BAE=∠CDE。求證:
。
證明:在△ABE與△DCE中,
![{\displaystyle {\begin{cases}\angle BAE=\angle CDE\\\angle AEB=\angle CED\\AB=DC\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635e61d27257f9188d3e20245605e9cc85d6f139)
因此,
。
在以上證明中,∠AEB=∠CED的結論就是通過對頂角定理得出的。注意,在一般的幾何證明中,對頂角定理並不需要顯式地敘述出來,可以當作是默認的條件。
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參考資料