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實射影平面
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在數學中,實射影平面(英語:Real projective plane)是R3中所有過原點直線組成的空間,通常記作,無歧義時也記為
。這是一個不可定向、緊緻、無邊界二維流形(即一個曲面),它在幾何中有基本的應用,但不能無自交地嵌入我們通常的三維歐幾里得空間。它的虧格是1,故歐拉示性數也為1。
![]() 射影平面的基本多邊形。 |
![]() 莫比烏斯帶只有一條邊,將相對開邊反向黏合起來便成為閉合的射影平面。 |
![]() 對照克萊因瓶,是莫比烏斯帶相對開邊同向黏合。 |
實射影平面有時描述為基於莫比烏斯帶的構造:如果能把莫比烏斯帶的(一條)邊以恰當的方向黏合,將得到射影平面。等價地,沿着莫比烏斯帶的邊界黏合一個圓盤給出射影平面。
由於莫比烏斯帶可構造為將正方形的一組對邊反向黏合,從而實射影平面可以表示為單位正方形([0,1] × [0,1])將它的邊界通過如下等價關係等同:
- (0, y) ~ (1, 1 − y) 對0 ≤ y ≤ 1 ,
以及
- (x, 0) ~ (1 − x, 1) 對0 ≤ x ≤ 1,
即如右圖所示。因為正方形同構於圓盤,故這也等價於將圓盤邊界的對徑點黏合。