四極子

四極子（英語：Quadrupole）是指一種電荷、電流或產生重力的質點等場源在空間中分佈模式。四極子是一種特殊的空間分佈，對於一般分佈而言，四極子可以是其多極展開的一部分。

提示：此條目的主題不是二端口網絡，它有時也稱為四端網絡。

數學定義

四極子通常用一個張量表述，四極矩張量Q是一個二階張量，即一個跡為零的3x3矩陣（即 ${\displaystyle Q_{xx}+Q_{yy}+Q_{zz}=0}$）。四極矩張量有9個元素，但是由於對稱性和跡為零的特性，其中只有5個元素是獨立的。

以電荷分佈為例，系統中的電荷以點電荷形式離散分佈於空間中，每個點電荷的電荷量為 ${\displaystyle q}$，坐標為 ${\displaystyle {\vec {r}}=(r_{x},r_{y},r_{z})}$，則張量 ${\displaystyle Q}$ 的矩陣元為

${\displaystyle Q_{ij}=\sum _{l}q_{l}(3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})}$.

其中下標 ${\displaystyle i}$ 和 ${\displaystyle j}$ 分別遍歷 ${\displaystyle x,y,z}$ 三個表示笛卡爾坐標的下標，${\displaystyle \delta _{ij}}$ 是克羅內克函數。

對於具有連續電荷密度（或質量密度）分佈的系統，密度在空間中的分佈以 ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$ 表達，此時 Q 由空間上的積分來定義^[1]：

${\displaystyle Q_{ij}=\int \,\rho (3r_{i}r_{j}-\|{\vec {r}}\|^{2}\delta _{ij})\,d^{3}\mathbf {r} }$

對於一個任意的多極子體系，若它的低階矩（單極矩和偶極矩）不是零，則四極矩的值與坐標原點的選取有關。例如，兩個相反但電荷量相同的點電荷組成的電雙級，具有電偶極矩。若原點不在兩個電荷的中點，那麼這個體系的電四極矩不為零，反之則為零。如果低階矩都是零（例如四個相同電荷量的電荷置於正方形的四個頂點上，每條邊上的兩個電荷異號），則電四極矩與坐標原點無關。

對於勢的大小可表示為 ${\displaystyle 1/r}$ 形式的場（例如電場和重力場），四極子對勢的貢獻為：

${\displaystyle V_{q}(\mathbf {R} )={\frac {k}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ ,}$

其中 R 是場源（電荷、質量等）系統指向場中某點的位移向量，n 是與 R 同方向的單位向量。${\displaystyle i,j}$ 的含義與前面相同，${\displaystyle n_{i},n_{j}}$ 表示 n 在 ${\displaystyle i}$ 或 ${\displaystyle j}$ 方向的分量。

電四極子

一個電四極子的等電勢面圖.

最簡單的電四極子是四個相同電荷量的電荷置於正方形的四個頂點上，每條邊上的兩個電荷異號。這個體系中的總電荷量為零。在此情況下，其電偶極矩都是零，但電四極矩不是零，二者皆與坐標系的選取無關。此電荷體系產生的電勢由以下式子給出^[2]

${\displaystyle V_{q}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}{\frac {1}{2}}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ ,}$

其中 ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 是電容率, ${\displaystyle Q_{ij}}$ 定義同上.

磁四極子

能產生四極場的線圈

磁鐵組成的磁四極子

眾所周知，磁鐵分為南北兩極，兩極之間有磁場。然而，四極磁場將四個磁鐵相互垂直放置，其中一個磁極比如南極都朝內放置，另一個磁極如北極都朝外放置，四個磁鐵呈放射狀。這樣的結構將磁偶極矩抵消，產生一個四極矩。這樣的磁場強度在大範圍內衰減很快（相對於磁偶極）。磁四極子的磁場常用於在粒子加速器中聚焦帶電粒子束（英語：Charged particle beam），屬於強聚焦（英語：Strong focusing）方法的一種。隨時間變化的磁四極子能產生電磁輻射。

重力四極子

由質點組成的四極子與電四極子類似，其產生的重力場可表達為：

${\displaystyle V_{q}(\mathbf {R} )=-G{\frac {1}{2}}{\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}\sum _{i,j}Q_{ij}\,n_{i}n_{j}\ .}$

例如，由於地球不是完美的球體，在赤道處略有隆起^[3]，地球產生的四極矩不為零。這個四極矩對於靠近地球的人造衛星軌道的計算非常重要，但對於月球軌道計算則影響較小。這是由於因為四極矩產生的場是 ${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {R} |^{3}}}}$ 的形式，隨距離衰減很快。

重力四極矩在廣義相對論中也十分重要。如果它隨時間變化，就能產生重力波（與震盪的電或磁四極矩產生電磁輻射的情形類似）。只有重力四極矩或更高階的矩能向外輻射出重力波。在重力的情境下，單極矩代表系統的總質量，是一個守恆量，不產生輻射。相同的，系統的動量為偶極矩對時間的一階導數，也是守恆量，不隨時間變化，因此偶極矩不產生輻射。而四極矩可隨時間變化，因此它是能產生重力波輻射的最低階多極矩^[4]。

能夠向外輻射重力波的最簡單系統是：兩個相同質量的質點以其質心互相繞行作圓周運動。假設坐標系以質心作為原點，並且以質心到其中一質點的距離作為距離單位，則這個系統的四極矩為

${\displaystyle Q_{ij}=M(3x_{i}x_{j}-\delta _{ij})}$

其中 M 是兩個質點各自的質量，${\displaystyle x_{i}}$ 是質點位置向量在坐標軸其中一方向的分量。當互相繞行作圓周運動時，x方向向量會旋轉，使其一階導數及二階導數均不為0（因有速度及加速度），因此此系統可輻射出重力波。在赫爾斯-泰勒脈衝雙星（為兩質量相近的中子星組成的脈衝星雙星系統）中找到了因重力波輻射導致能量損失的證據。

正如電荷和電流多極對電磁場有貢獻一樣，質量和質量流多極對廣義相對論中的重力場有貢獻，從而產生所謂的重力電磁性。 改變質量流多極也可以發出重力輻射。 然而，質量流多極的貢獻通常比質量四極的貢獻小得多。

相關條目

• 多極展開
• 多極磁矩
• 固體諧波（英語：Solid harmonics）
• 軸向多極矩（英語：Axial multipole moments）
• 圓柱形多極矩（英語：Cylindrical multipole moments）
• 球多極矩
• 拉普拉斯展開
• 勒壤得多項式
• 四極離子阱
• 四極質譜儀

參考資料

1. Weisstein, Eric. Electric Quadrupole Moment. Eric Weisstein's World of Physics. Wolfram Research. [May 8, 2012]. （原始內容存檔於2019-02-16）.
2. Jackson, John David. Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons. 1975. ISBN 0-471-43132-X.
3. Milbert, D. G.; Smith, D. A. Converting GPS Height into NAVD88 Elevation with the GEOID96 Geoid Height Model. National Geodetic Survey, NOAA. [2007-03-07]. （原始內容存檔於2007-06-04）.
4. Thorne, Kip S. Multipole Expansions of Gravitational Radiation. Reviews of Modern Physics. April 1980, 52 (2): 299–339. Bibcode:1980RvMP...52..299T. doi:10.1103/RevModPhys.52.299.

外部連結

• Multipole expansion（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）