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在數學裏,單射函數(或稱嵌射函數[1]、一對一函數,英文稱injection、injective function 或 one-to-one function)為一函數,其將不同的輸入值對應到不同的函數值上。更精確地說,函數f被稱為是單射的,當對每一對應域內的y,存在最多一個定義域內的x使得f(x) = y。
由從X 映射至Y 的單射函數所組成的集合標記為YX,該符號的由來為下降階乘冪。當X 及Y 分別為具有m 個及n 個元素的有限集合時,從X 映射至Y 的單射函數數量可以以下降階乘冪表示為nm。
令f 為一函數,且其定義域為一集合X,當且僅當對所有於X 內的元素a 及b,當f(a) = f(b)時,a = b,則該函數為單射函數;等價地說,當a ≠ b時,f(a) ≠ f(b)。
以邏輯符號表示如下:
依換質換位律,該敘述邏輯等價於
形象化地說,當定義域和對應域都是實數集 R時,單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。
具有左反函數的函數,必為單射。此處的條件(具有左反函數),比具有反函數弱:給定一函數f : X → Y,若存在一函數g : Y → X,使得對X內的每個元素x,
則稱g為f的左反函數,而上式也就推出f為單射函數。
相反地,每個具非空定義域的單射函數f 都會有個左反函數g[2]。須注意的是,g 不一定會是f 的反函數,因為相反順序的函數複合f ∘ g 不一定也會是Y 上的恆等函數。
事實上,要將一單射函數f : X → Y變成對射函數,只需要將其對應域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即,令g : X → J,使其對所有X內的x,g(x) = f(x);如此g便為滿射的了。確實,f可以分解成inclJ,Yog,其中inclJ,Y是由J到Y的內含映射。
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