可預測過程

可預測過程是數學中隨機過程里的一個概念。如果一個隨機過程在某個時刻的取值在這個時刻之前就可能可以知道（可測），那麼就稱這個過程是可預測過程。

定義

設有

• 概率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$；
• 測度空間${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$，狀態空間；
• 有序的指標集${\displaystyle T}$： 可以是非負實數集${\displaystyle [0,\infty )}$、有限時間集${\displaystyle [0,T_{0}]}$或離散時間${\displaystyle \mathbb {N} }$；
• σ-代數${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的參考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$；
• 隨機過程${\displaystyle X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}}$。

當指標集${\displaystyle T}$是（可數的）離散集合，比如${\displaystyle \mathbb {N} }$時，${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {N} }}$是可預測過程若且唯若對任意的${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$，${\displaystyle X_{n+1}}$都是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$-可測的隨機變量^[1]:190。通俗地說，只要完全掌握了這個隨機過程在${\displaystyle t=n}$時刻的所有信息，那麼${\displaystyle t=n+1}$時的取值就是確定的^[2]:§8.2。

當指標集${\displaystyle T}$是（不可數的）連續集合，比如${\displaystyle [0,\infty )}$時，${\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$是可預測過程若且唯若對任意的${\displaystyle t\in \mathbb {T} }$，${\displaystyle X_{t}}$都是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}}$-可測的隨機變量。其中的參考族${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{-}}=\bigcup _{s<t}{\mathcal {F}}_{s}}$^[2]:§8.2。換句話說，如果知道了隨機過程這個隨機過程${\displaystyle X}$在${\displaystyle t}$時刻之前任意時刻的取值，那麼幾乎必然有${\displaystyle X_{t}=\lim _{s\uparrow t}X_{s}}$，也就是說隨機過程在一個特定時刻的取值是之前的取值的極限。另一種等價的定義方式是先定義可預測的σ-代數。給定了參考族${\displaystyle \mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}}$後，可以定義${\displaystyle (\Omega ,T)}$上的${\displaystyle \mathbb {F} }$-可預測σ-代數${\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}$：它是由所有的左連續並且對每個${\displaystyle t}$都可測的過程${\displaystyle Y=Y(\omega ,t)}$生成的σ-代數。而一個隨機過程是可預測的，若且唯若${\displaystyle X=X(\omega ,t)}$作為${\displaystyle (\Omega ,T)}$上的隨機變量是${\displaystyle \mathbb {F} ^{p}}$-可測的^{[1]:226[3]:171-172}。

性質

• 任意的左連續適應過程，或者一列左連續適應過程的（概率為1的）極限，都是可預測過程^[2]:§8.2。實際上，可預測過程的集合就是所有左連續適應過程生成的σ-代數^[1]:226。
• 任意關於可預測過程的可測函數仍然是可預測過程^[2]:§8.2。
• 只有在可預測過程上才能定義關於半鞅的積分^[2]:§8.2。

Doob-Meyer分解

可預測過程可以用在分解半鞅過程上。Doob-Meyer分解定理說明，設${\displaystyle X=\left(X_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$是一個（局部）下鞅，那麼存在唯一的（局部）鞅${\displaystyle M=\left(M_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$和單增的局部可積的可預測過程${\displaystyle A=\left(A_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$，使得

${\displaystyle X(t)=X(0)+M(t)+A(t).}$^[1]:190

舉例來說，設 ${\displaystyle B=\left(B_{t}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$ 是一個標準布朗運動過程，那麼過程 ${\displaystyle \left(B_{t}^{2}\right)_{t\in \mathbb {T} }}$ 就是一個下鞅，對應的分解是${\displaystyle M(t)=B_{t}^{2}-t}$和${\displaystyle A(t)=t}$^[2]:§8.3.

參見

• 適應過程
• 循序可測過程