雙曲面模型

在幾何學中，雙曲面模型（hyperboloid model），也稱為閔可夫斯基模型（Minkowski model）或洛倫茲模型（Lorentz model），分別冠以赫爾曼·閔可夫斯基與亨德里克·洛倫茲的名字。是 n-維雙曲幾何的一個模型，其中點由 (n+1)-維閔可夫斯基空間中雙葉雙曲面的向前葉 S⁺ 中的點表示，而 m-維平面由閔可夫斯基空間中的 (m+1)-維平面與 S⁺ 的交集表示。雙曲距離函數在這個模型中有一個簡單的表達式。n-維雙曲空間的雙曲面模型與凱萊-克萊因模型密切相關：兩者都是射影模型，它們的等距群是射影群的一個子群。

紅色圓孤為龐加萊圓盤模型上的測地線，投影到綠色雙曲面模型上的棕色測地線。

閔可夫斯基二次型

主條目：閔可夫斯基空間

如果 (x₀, x₁, …, x_n) 是 (n+1)-維坐標空間 Rⁿ⁺¹ 中一個向量，閔可夫斯基二次型定義為

${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^{2}.}$

向量 v∈ Rⁿ⁺¹ 使得 Q(v) = 1 構成一個 n-維雙曲面 S，由兩個連通分支（或說葉）組成：向前或未來葉 S⁺，其中 x₀>0 與向後葉或過去葉 S⁻，其中 x₀<0。n-維雙曲面模型中的點是向前葉 S⁺ 上的點。

閔可夫斯基雙線性形式 B 是閔可夫斯基二次型 Q 的極化，

${\displaystyle B(u,v)=(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))/2.}$

具體地

${\displaystyle B((x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots ,y_{n}))=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.}$

S⁺ 中兩點 u 與 v 的雙曲距離由公式

${\displaystyle d(u,v)=\cosh ^{-1}(B(u,v))}$

給出。

等距

不定正交群 O(1,n)，也稱為 (n+1)-維洛倫茲群，是保持閔可夫斯基雙線性形式的實 (n+1)×(n+1) 矩陣形成的李群。換種語言說，它是閔可夫斯基空間的線性等距群。特別地，這個群保持雙曲面 S。O(1,n) 保持第一個坐標的符號的子群是正時洛倫茲群，記作 O⁺(1,n)。它的行列式為 1 矩陣的子群 SO⁺(1,n) 是一個 n(n+1)/2 維連通李群，通過線性自同構作用在 S⁺ 上且保持雙曲距離。這個作用是傳遞的，向量 (1,0,…,0) 的穩定子由如下形式矩陣組成

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix}}}$

這裏 A 屬於緊特殊正交群 SO(n)（推廣了 n=3 的旋轉群）。從而 n-維雙曲空間是一個齊性空間以及秩為 1 的黎曼對稱空間，

${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}=SO^{+}(1,n)/SO(n).}$

事實上，群 SO⁺(1,n) 是 n-維雙曲空間保持定向的整個等距群。

相關條目

• 龐加萊圓盤模型
• 雙曲四元數

參考文獻

• Alekseevskij, D.V.; Vinberg, E.B.; Solodovnikov, A.S., Geometry of Spaces of Constant Curvature, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 3-540-52000-7
• Anderson, James, Hyperbolic Geometry, Springer Undergraduate Mathematics Series 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-1-85233-934-0
• Ratcliffe, John G., Foundations of hyperbolic manifolds, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1994, ISBN 978-0-387-94348-0, Chapter 3
• Ryan, Patrick J., Euclidean and non-Euclidean geometry: An analytical approach, Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-25654-2