勒壤得轉換

勒壤得轉換（英語：Legendre transformation）是一個在數學和物理中常見的技巧，得名於阿德里安-馬裏·勒壤得（Adrien-Marie Legendre）。該操作是一個實變量的實值凸函數的對合轉換。它經常用於經典力學中從拉格朗日形式到哈密頓形式的推導、熱力學中熱力學勢的推導以及多變量微分方程式的求解。

xy-圖展示出函數 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的勒壤得轉換。函數用紅色表示，在切點 ${\displaystyle (x_{0},\ f(x_{0}))\,\!}$ 的切線用藍色表示。切線與 y-軸相交於點 ${\displaystyle (0,\ -f^{*})\,\!}$ ；這裏，${\displaystyle f^{*}\,\!}$ 是勒壤得轉換 ${\displaystyle f^{*}(p_{0})\,\!}$ 的值，${\displaystyle p_{0}={\dot {f}}(x_{0})\,\!}$ 。特別注意，穿過在紅線上任何其它點，而擁有同樣斜率 ${\displaystyle {\dot {f}}(x_{0})\,\!}$ 的直線，其與 y-軸相交點必定比點 ${\displaystyle (0,\ -f^{*})\,\!}$ 高，證明 ${\displaystyle f^{*}\,\!}$ 確實是極大值。

概述

為了研究一個系統內部蘊藏的數學結構，表述此系統的函數關係 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 改用一個新函數 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 來表示，其變量 ${\displaystyle p\,\!}$ 是 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的導數，${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ 。而 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 的值是如右圖藍線在 y 軸的負截距

換句話說，從${\displaystyle (x,f(x))\,\!}$ x 值到 y 值的函數，轉換成${\displaystyle (p,f^{\star }(p))\,\!}$ f(x) 在 x 點的導數到在 x 點切線 y 截距的函數

這程序是由阿德里安-馬裏·勒壤得所發明的，因此稱為勒壤得轉換。稱函數 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 為 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的勒壤得轉換；

用方程式表示

${\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!}$ 。

此式子表示 ${\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)}$ 中的 u 對 ${\displaystyle f^{\star }(p)}$ 而言是個參數，且參數 u 會滿足 ${\displaystyle {{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!}$ 的 ${\displaystyle u}$。即求算表達式關於變量 ${\displaystyle u\,\!}$ 的極值。

為方便討論，把討論限定在 ${\displaystyle f(x)}$為嚴格單調遞增。會有這方程式是因為在 ${\displaystyle p=f'(x_{0})}$ 也就是斜率不變的狀況下，對每個${\displaystyle x_{0}}$而言，所有與曲線${\displaystyle (u,f(u))}$相交且斜率為${\displaystyle f'(x_{0})}$的直線族為 ${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)\,\!}$。若令${\displaystyle u=x_{0}}$，該直線即是${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x_{0}}$的切線方程式。把x當作常數並由右圖直接觀察可知，在${\displaystyle u=x_{0}}$的情況下，${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-u)+f(u)=f'(x_{0})x-[f'(x_{0})u-f(u)]}$值是最小的，也就是說直線方程式中${\displaystyle [f'(x_{0})u-f(u)]}$這部分是最大的，而正好 ${\displaystyle f^{\star }(p)=pu-f(u)|_{{\mathrm {d} [pu-f(u)] \over \mathrm {d} u}=0}\,\!}$，正是原方程式所求的極值。

勒壤得轉換是點與線之間對偶性關係（duality）的一個應用。函數 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 設定的函數關係可以用 ${\displaystyle (x,\ y=f(x))\,\!}$ 點集合來表示；也可以用切線(在嚴格單調遞增的討論下，切線跟導數p有一對一的關係)集合表示。

若將勒壤得轉換廣義化，則會變為勒壤得-芬伽轉換（Legendre-Fenchel transformation）。勒壤得轉換時常用於熱力學與哈密頓力學。

定義

給定區間I ⊂ ℝ和凸函數f : I → ℝ，則其勒壤得轉換為函數f* : I* → ℝ，

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x)),\quad x^{*}\in I^{*}}$

其中${\displaystyle \sup }$表示上確界，定義域${\displaystyle I^{*}}$為

${\displaystyle I^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} :\sup _{x\in I}(x^{*}x-f(x))<\infty \right\}~.}$

當f(x)為凸函數時，這個函數有良好的定義。

不難將勒壤得轉換推廣到定義在凸集X ⊂ ℝⁿ 上的凸函數f : X → ℝ：其轉換f * : X* → ℝ為定義在

${\displaystyle X^{*}=\left\{x^{*}\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$

上的函數

${\displaystyle f^{*}(x^{*})=\sup _{x\in X}(\langle x^{*},x\rangle -f(x)),\quad x^{*}\in X^{*}~,}$

其中${\displaystyle \langle x^{*},x\rangle }$表示x*和 x的點積。

從導數的角度理解勒壤得轉換

對於實軸上具有可逆一階導數的凸函數${\displaystyle f}$，其勒壤得轉換 ${\displaystyle f^{*}}$的一階導數與${\displaystyle f}$的一階導數互為反函數，反過來說，這個條件可以給出至多相差一個常數的${\displaystyle f^{*}}$。

最大值式定義

更詳細地定義勒壤得轉換，為了求得 ${\displaystyle L(x,\ p)=px-f(x)\,\!}$ 關於 ${\displaystyle x\,\!}$ 的最大值，設定 ${\displaystyle L(x,\ p)\,\!}$ 關於 ${\displaystyle x\,\!}$ 的偏導數為零：

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left(px-f(x)\right)=p-{\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=0\,\!}$ 。

則

${\displaystyle p={\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}\,\!}$ 。(1)

這表達式必為最大值。因為，凸函數 ${\displaystyle L(x,\ p)\,\!}$ 的二階導數是負數：

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}(xp-f(x))=-{\mathrm {d} ^{2}f(x) \over \mathrm {d} x^{2}}<0\,\!}$ ；

用方程式 (1) 來計算函數 ${\displaystyle f\,\!}$ 的反函數 ${\displaystyle x=g(p)\,\!}$ 。代入 ${\displaystyle L(x,\ p)\,\!}$ 方程式，即可以得到想要的形式：

${\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!}$ 。

計算 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 的勒壤得轉換，所需的步驟為：

1. 找出導函數 ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ ，
2. 計算導函數 ${\displaystyle p={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\,\!}$ 的反函數 ${\displaystyle x=g(p)\,\!}$ ，
3. 代入 ${\displaystyle F(x)\,\!}$ 方程式來求得新函數 ${\displaystyle f^{\star }(p)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!}$ 。

這定義切確地闡明：勒壤得轉換製造出一個新函數 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ ；其新自變量為 ${\displaystyle p={\mathrm {d} f \over \mathrm {d} x}\,\!}$ 。

反函數式定義

另外一種勒壤得轉換的定義是：假若兩個函數 ${\displaystyle f(x)\,\!}$ 與 ${\displaystyle f^{\star }(p)\,\!}$ 的一階導數是互相的反函數；

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}\right)^{-1}(x)\,\!}$ ，

或者，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}f^{*}(p)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f\right)^{-1}(p)\,\!}$ ，

則 ${\displaystyle f\,\!}$ 與 ${\displaystyle f^{\star }\,\!}$ 互相為彼此的勒壤得轉換。

依照定義，

${\displaystyle {\mathrm {d} f(x) \over \mathrm {d} x}=p\,\!}$ ，

${\displaystyle {\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!}$ 。

思考下述運算：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} p}}(xp-f(x))=x+p{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}-{\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} p}}=x={\mathrm {d} f^{\star }(p) \over \mathrm {d} p}=x\,\!}$ 。

所以，

${\displaystyle f^{\star }(p)=xp-f(x)=g(p)\ p-f(g(p))\,\!}$ ；

這裏，${\displaystyle x=g(p)\,\!}$ 。

這答案是標準答案；但並不是唯一的答案。設定

${\displaystyle f^{\star }(p)=f(x)-xp\,\!}$ ，

也可以滿足定義的要求。在某些情況下（例如：熱力勢（thermodynamic potential），會採用非標準的答案。除非另外註明，此頁面一律採用標準答案。

數學性質

以下討論，函數 ${\displaystyle f\,\!}$ 的勒壤得轉換皆標記為 ${\displaystyle f^{\star }\,\!}$ 。

標度性質

勒壤得轉換有以下這些標度性質：

${\displaystyle f(x)=a\cdot g(x)\rightarrow f^{\star }(p)=a\cdot g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!}$ ，

${\displaystyle f(x)=g(a\cdot x)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }\left({\frac {p}{a}}\right)\,\!}$ ，

由此可知，一個 ${\displaystyle r\,\!}$ 次齊次函數的勒壤得轉換是一個 ${\displaystyle s\,\!}$ 次齊次函數；這裏，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{s}}=1\,\!}$ 。

平移性質

${\displaystyle f(x)=g(x)+b\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-b\,\!}$ ，

${\displaystyle f(x)=g(x+y)\rightarrow f^{\star }(p)=g^{\star }(p)-p\cdot y\,\!}$ 。

反演性質

${\displaystyle f(x)=g^{-1}(x)\rightarrow f^{\star }(p)=-p\cdot g^{\star }\left({\frac {1}{p}}\right)\,\!}$ 。

線形變換性質

讓 ${\displaystyle A\,\!}$ 成為一個從 ${\displaystyle R^{n}\,\!}$ 到 ${\displaystyle R^{m}\,\!}$ 的線形變換。對於任何定義域為 ${\displaystyle R^{n}\,\!}$ 的凸函數 ${\displaystyle f\,\!}$ ，必有

${\displaystyle \left(Af\right)^{\star }=f^{\star }A^{\star }\,\!}$ ；

這裏，${\displaystyle A^{\star }\,\!}$ 是 ${\displaystyle A\,\!}$ 的伴隨算子定義為

${\displaystyle \left\langle Ax,y^{\star }\right\rangle =\left\langle x,A^{\star }y^{\star }\right\rangle \,\!}$ 。

例子

例一

e^x（紅色實線）與其勒壤得轉換（藍色虛線）。

指數函數

${\displaystyle f(x)=e^{x}}$

的勒壤得轉換為

${\displaystyle f^{*}(p)=p(\ln p-1)}$，

因為它們的一階導數 e^x與 ln p互為反函數。

應用

勒壤得轉換

熱力學

在熱力學裏，使用勒壤得轉換主要的目的是，將一個函數與所含有的一個自變量，轉換為一個新函數與所含有的一個新自變量，（此新自變量是舊函數對於舊自變量的偏導數）；將舊函數減去新自變量與舊自變量的乘積，得到的差就是新函數。勒壤得轉換可以用來在各種熱力勢（thermodynamic potential）之間作轉換。例如，內能 ${\displaystyle U\,\!}$ 是外延量（extensive）熵 ${\displaystyle S\,\!}$ ，體積 ${\displaystyle V\,\!}$ ，與化學成份（chemical composition）${\displaystyle N_{i}\,\!}$ 的顯函數

${\displaystyle U=U(S,\ V,\ \{N_{i}\})\,\!}$ 。

對於 ${\displaystyle -PV\,\!}$ ，函數 ${\displaystyle U\,\!}$ （非標準的）勒壤得轉換為焓函數 ${\displaystyle H\,\!}$ ：

${\displaystyle H(S,\ P,\ \{N_{i}\})=U+PV\,\!}$ ，

${\displaystyle P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{S,\ \{N_{i}\}}\,\!}$ 。

一個熵與內含量（intensive）壓力的函數。當壓力是常數時，這函數很有用。

對於 ${\displaystyle TS\,\!}$ ，函數 ${\displaystyle H\,\!}$ 勒壤得轉換為吉布斯能函數 ${\displaystyle G\,\!}$ :

${\displaystyle G(T,\ P,\ \{N_{i}\})=H-TS\,\!}$ ，

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{P,\ \{N_{i}\}}\,\!}$ 。

對於 ${\displaystyle TS\,\!}$ ，函數 ${\displaystyle U\,\!}$ 勒壤得轉換為亥姆霍茲自由能函數 ${\displaystyle A\,\!}$ :

${\displaystyle A(T,\ V,\ \{N_{i}\})=U-TS\,\!}$ ，

${\displaystyle T=\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,\ \{N_{i}\}}\,\!}$ 。

這些自由能函數時常用在常溫的物理系統。

經典力學(哈密頓力學)

在經典力學裏，勒壤得轉換專門用來從拉格朗日表述導引出哈密頓表述，或反導之。拉格朗日量 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 是廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$ 與廣義速度 ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}\,\!}$ 的函數；而哈密頓量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 將函數的自變量轉換為廣義坐標 ${\displaystyle \mathbf {q} \,\!}$ 與廣義動量 ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{1},\ p_{2},\ \dots ,\ p_{N})\,\!}$ ：

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\,\!}$ ，

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t)=\mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\ {\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} ,\ t),\ t)\,\!}$ 。

正則變換

正則變換廣泛地應用勒壤得轉換在其理論裏。正則變換是一種正則坐標的改變，${\displaystyle (\mathbf {q} ,\ \mathbf {p} )\rightarrow (\mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} )\,\!\,\!}$ ，而同時維持哈密頓方程式的形式，雖然哈密頓量可能會改變。正則變換的方程式為

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}\,\!\,\!}$ ，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial \mathbf {Q} }}=-{\dot {\mathbf {P} }}\,\!\,\!}$ ，

${\displaystyle \mathbf {p} \cdot {\dot {\mathbf {q} }}-{\mathcal {H}}=\mathbf {P} \cdot {\dot {\mathbf {Q} }}-{\mathcal {K}}+{\frac {dG}{dt}}\,\!}$ ；

這裏，${\displaystyle \mathbf {q} ,\ \mathbf {p} \,\!}$ 是舊正則坐標，${\displaystyle \mathbf {Q} ,\ \mathbf {P} \,\!}$ 是新正則坐標，${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\!}$ 是舊哈密頓量，${\displaystyle {\mathcal {K}}\,\!}$ 是新哈密頓量，${\displaystyle G\,\!}$ 是生成函數。

參閱

• 哈密頓力學
• 切觸幾何
• 正則變換

參考文獻

• Arnold, Vladimir. Mathematical Methods of Classical Mechanics (second edition). Springer. 1989. ISBN 0-387-96890-3.
• Rockafellar, Ralph Tyrell. Convex Analysis. Princeton University Press. 1996. ISBN 0-691-01586-4.