力學平衡

當一個質點、剛體或質點系的速度向量${\displaystyle {\vec {v}}}$為常向量時，就稱該物體或系統處於力學平衡（Mechanical equilibrium）或機械平衡狀態^[1][2][3]。特別地，當一個靜止的質點或質點系處於力學平衡狀態時，該質點或質點系即處於靜力平衡或靜態平衡狀態^[4][5]。物體的力學平衡狀態在任何和該物體相對靜止的參考系中均不變。

力學平衡

平衡類型

上級分類	平衡點、​平衡 (物理學)

靜止在某表面上的物體的受力圖顯示其所受的力。支持力 N與重力 mg等大反向，淨力為零。 物體處於靜力平衡狀態

當外力對質點系上任何一點所產生的淨力矩${\displaystyle \sum M=0}$時，稱質點系處於轉動平衡狀態。

更一般地，根據變分原理，在保守系統中，當位形空間中某位能的泛函（廣義位勢函數）對廣義坐標的梯度在某點為零時，系統在該點處於平衡位置^[1]。

穩定性

各以小球、掛畫為例的不穩定平衡 （unstable equilibria）

各以小球、掛畫為例的穩定平衡 （stable equilibria）

各以小球、掛畫為例的隨遇平衡 （neutral equilibria）

處於力學平衡狀態的系統的一個重要性質是穩定性。先考察只有一個廣義坐標的系統。該系統處於平衡態時，其位能的泛函對廣義坐標的一階變分為零；根據二階變分的正負性，平衡狀態可進一步分為三類^[6]：

• 二階變分為負：位能處於區域極大值，系統處在不穩定平衡，任何微小擾動都會使系統遠離平衡態。
• 二階變分為正：位能處於區域極小值，系統處在穩定平衡，受到微小擾動而偏離平衡位置時，系統能自動恢復到平衡態。
• 二階變分為零：位能不變，系統處在隨遇平衡，受到微小擾動而偏離平衡位置時，系統在新的位置也能平衡。

如果位勢函數在駐點的二階變分不存在，高階變分可以此類推。

推廣到多維空間情況時，一個系統有可能在某一維度處於穩定平衡，而在另一維度處於不穩定平衡，如鞍點。通常意義下的穩定平衡指該系統在所有維度都處於穩定平衡狀態。

例子

主條目：靜力平衡

力學平衡的一個很重要的特例是靜力平衡，例如：靜置在桌面上的書本就處於靜力平衡狀態。其中，凸均勻體可以具有的平衡點的最小數目格外吸引研究者關注。在二維空間中，這個最小數目是4（四頂點定理）；但在三維空間中存在只有一個穩定平衡點和一個不穩定平衡點的物體（岡布茨）。

沿滑梯勻速下滑的孩子處於力學平衡狀態，但不處於靜力平衡狀態（相對於固定的滑梯和地面參考系）。

參見

• 力學
• 靜態平衡
• 動態平衡
• 靜力學
• 動力學
• 靜不定

參考文獻

1. 徐燕侯,郭長銘,周凱元. 理论力学 修訂版. 中國科學技術大學出版社. 2000: 第11章；第17章. ISBN 7-312-01169-1.
2. John L Synge & Byron A Griffith. Principles of Mechanics 2nd. McGraw-Hill. 1949: 45–46.
3. Beer FP, Johnston ER, Mazurek DF, Cornell PJ, and Eisenberg, ER. (2009) Vector Mechanics for Engineers: Statics and Dymanics. 9th ed. McGraw-Hill. p 158.
4. Herbert Charles Corben & Philip Stehle. Classical Mechanics Reprint of 1960 second. Courier Dover Publications. 1994: 113 [2014-08-13]. ISBN 0-486-68063-0. （原始內容存檔於2020-05-01）.
5. Lakshmana C. Rao, J. Lakshminarasimhan, Raju Sethuraman, Srinivasan M. Sivakumar. Engineering Mechanics. PHI Learning Pvt. Ltd. 2004: 6 [2014-08-13]. ISBN 81-203-2189-8. （原始內容存檔於2020-05-01）.
6. 朱濱. 弹性力学. 中國科學技術大學出版社. 2008: 290. ISBN 978-7-312-02247-0.

延伸閱讀

• 舒幼生《力學》北京大學出版社 ISBN 978-730-109401-3
• 楊維紘《力學與理論力學》科學出版社 ISBN 978-703-020513-1
• Marion JB and Thornton ST. (1995) Classical Dynamics of Particles and Systems. Fourth Edition, Harcourt Brace & Company.