割圓八線是割圓術之一,與三角學和三角函數相關,主要用於測量。八線指割圓有八個線段,分別為正弦餘弦正切餘切、正割、餘割、正矢、餘矢。[1]

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割圓八線

大明崇禎曆書,有割圓八線表,其列舉了各線的數值,相當於一張三角函數表。而大清梅文鼎,亦有著作《平三角舉要》,其主要講述三角學,其中也有使用到割圓八線的概念。[2][3]

割圓八線與曆法有關。其之所以跟曆法有關是因為圭表求日影,以定季節。天文計算也會用到割圓八線。

說明

弓上了弦,但未張的形狀。弦為鉛垂線
如射箭張弓,橫為矢向,弦化為斜線

為了方便說明割圓八線,一圓以一條過圓心的水平線和一條過圓心的鉛直將圓評分成四份,每份有一個直角,圓邊就是弧。

以分割出的四份中,左上角的那一份為例,即丁丙庚的部份。圓心直角在丁。從圓心射出一條斜的射線,交圓周於乙,並從乙向外持續延伸。如此一來,直角就被分成了兩份,靠近x軸的那一份稱為正角,另一份稱為餘角。[3]而正角一側的圓周上的弧稱為正弧,即弧線乙丙;餘角一側的圓周上的弧稱為餘弧,即弧線乙庚。[4]

割圓的圖像結構與射箭類似,弓有弧、弦和矢。弦為扣在弧上下的直線,而矢就是箭,是橫放,以備射向目標。射箭時張弓,扣矢拉弦,弦矢的端點就有兩個角,弦線化為斜線。

算經借為割圓之用。直線劃過圓稱為弦,有如弓的弦狀。弓弦未拉時是鉛垂線,即線段甲乙。弓弦拉斜線到圓心,就是線段乙丁,為圓的半徑。而丙丁橫線,就矢的方向。割圓叫與圓周相切的線,稱為切線。丙戊和庚辛都是切線。

正角方向的弦,叫正弦,即線段甲乙。線段甲乙和線段丙丁,相交成直角。相切到到圓周切點為丙的切線,和斜線相交在戊,丙戊這條鉛垂線稱為正切。斜線丁戊則線稱正割。線段甲丙,有如未張弓的矢,稱為正矢。

這樣就得出正弦、正切、正割、正矢。

類似地,可以用如上的概念在餘角上做一遍得到餘弦、餘切、餘割、餘矢,過程等同於橫直倒轉。

割圓八線在零度與直角之間的線長由下表給出:

More information 線名, 線 ...
線名 正角為零度

餘角為直角

正角為直角

餘角為零度

正弦 甲乙 半徑
正切 丙戊 同正割,無窮大
正割 丁戊 半徑 同正切,無窮大
正矢 甲丙 半徑
餘弦 乙己 半徑
餘切 庚辛 同餘割,無窮大
餘割 丁辛 同餘切,無窮大 半徑
餘矢 己庚 半徑
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參見

參考文獻

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