分段

在數學中，分段定義的函數稱為分段函數，是由多個子函數而定義的，施加到主函數的域的一定的時間間隔的每個子函數（子體）。分段實際上是一種表達函數的方式，而不是函數本身的一個特徵，但是具有額外的限定，可以描述函數的本質。例如，分段多項式函數是在其每個子體上是多項式的函數，但是每個子體上可能是不同的。 字分段也用來描述適用於每件分段定義的函數的任何屬性，但不一定保持為函數的整個域。一個函數是分段微分的或分段連續微分的，如果每個子塊在整個子體內是可區分的，即使整個函數在塊之間的點上可能是不可區分的。在凸分析中，導數的概念可以被分段函數的子導數的概念取代。儘管分段定義中的「塊」不一定是間隔，但是除非是間隔，否則函數不被稱為分段線性、分段連續或分段可微。

符號和解釋

絕對值函數${\displaystyle y=|x|}$的圖形

分段函數使用通用函數表示法來定義，其中函數的主體是函數和相關子體的數組。至關重要的是，在大多數情況下，只有有限數量的子體，每個子體必須是一個區間，以便將整個函數稱為分段。例如，考慮絕對值函數的分段定義：

${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

對於${\displaystyle x}$小於零的所有值，使用第一個函數（${\displaystyle -x}$），它將取消輸入值的符號，使負數為正數。對於x大於或等於零的所有值，使用第二個函數（${\displaystyle x}$），它對輸入值本身進行簡單計算。 考慮分段函數${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x}$的特定值處計算：

${\displaystyle x}$	${\displaystyle f(x)}$	使用的函數
-3	3	${\displaystyle -x}$
-0.1	0.1	${\displaystyle -x}$
0	0	${\displaystyle x}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle x}$
5	5	${\displaystyle x}$

連續性

在${\displaystyle x_{0}}$兩側由不同二次函數組成的分段函數

如果滿足以下條件，則分段函數在給定的時間間隔內是連續的：

• 它在整個間隔中被定義。
• 其構成函數在該間隔上是連續的。
• 在該區間內的子體的每個端點處不存在不連續性。

例如，圖中的函數在其子體中是分段連續的，但在整個域中是不連續的。圖中的函數包含跳躍不連續性${\displaystyle x_{0}}$。

應用

在應用的數學分析中，已經發現分段函數與人類視覺系統的許多模型一致，其中在第一階段將圖像感知為包括由邊緣分隔的平滑區域。特別是，剪切片已經被用作表示系統來提供2D和3D中該模型類的稀疏近似。

常見示例

分段函數的具體實例包括：

• 階躍函數，由常數函數組成的分段函數。
  • Boxcar 函數
  • 單位階躍函數
  • 符號函數
• Piecewise linear function，由線段組成的分段函數。
  • 絕對值
• 破碎的冪定律，由冪定律組成的分段函數。
• 樣條函數，由多項式函數組成的分段函數，在多項式片段連接處具有高度的平滑度。
  • B-樣條
• PDIFF