八面體半形

在抽象幾何學中，八面體半形是正八面體的多面體半形，即由一半數量的正八面體面構成的抽象多面體。這個抽象多面體與正八面體類似，它們的每個頂點都是4個三角形的公共頂點，正八面體有8個面，對應的多面體半形僅有4個面；同時，這個立體無法嵌入在三維歐幾里得空間中^[1]。

八面體半形

類別	抽象多胞形（英語：Abstract polytope） 射影多面體（英語：projective polyhedron）
對偶多面體	立方體半形
數學表示法
施萊夫利符號	{3,4}/2 {3,4}3
性質
面	4
邊	6
頂點	3
歐拉特徵數	F=4, E=6, V=3 （χ=1）
組成與佈局
頂點圖	3.3.3.3
對稱性
對稱群	S4, 24階
特性
不可定向、 歐拉示性數為1
圖像
立方體半形 （對偶多面體）
閱 論 編

性質

八面體半形是一個不可定向的幾何結構^[2]，由四個面、六條邊和三個頂點組成^[3]，其中4個面都是三角形，每個頂點都是4個三角形的公共頂點，在施萊夫利符號中可以用{3,4}₃表示^[4]。八面體半形的皮特里多邊形同樣為三角形，因此八面體半形的皮特里對偶同樣為八面體半形，是一個自身皮特里對偶的多面體^[5]。

八面體半形的對偶多面體為立方體半形，立方體半形的對稱性與八面體半形相同，皆為24階的S₄對稱群^[6]。

八面體半形可被視為是一種影射多面體^[7]，可視為由四個三角形構成的實射影平面鑲嵌，要將其視覺化，可以透過將射影平面構築為一個半球體，其邊界上的對蹠點連結了半球體，並將半球體分成了四等分，簡單來說就是將正八面體的點皆與對蹠點相對應的幾何結構。^[8]八面體半形也可看成是一個沒有底面的正四角錐，即正八面體的一半^[9]。

八面體半形可以對稱地表示一個六邊形或一個正方形的施萊格爾圖（英語：Schlegel diagram）：

它有着一些特殊的特性：每對頂點之間連接着兩條不同的邊，即每兩個頂點圍成了一個二角形。^[10]

相關多面體

立方體半形是正多面體的半形體之一，其他也是正多面體的半形之結構有^[4]：

立方體半形

八面體半形

十二面體半形

二十面體半形

八面體半形可以被截半為截半立方體半形，其為一種擬正則地區圖（quasiregular map）。四面半六面體可以視為截半立方體半形浸入三維空間所形成的立體。^[11]

參見

• 立方體半形
• 十二面體半形
• 二十面體半形

參考資料

1. Mark Mixer. Introduction to abstract polytopes (PDF). Northeastern University. 2009-05-19 [2021-08-25]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-06）.
2. Wilson, Steve. Rose window graphs. Ars Mathematica Contemporanea. 2008, 1 (1).
3. The hemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-08-24]. （原始內容存檔於2016-03-04）.
4. McMullen, Peter; Schulte, Egon, 6C. Projective Regular Polytopes, Abstract Regular Polytopes 1st, Cambridge University Press: 162–165, December 2002, ISBN 0-521-81496-0
5. Wilson, Steve. Cantankerous maps and rotary embeddings of Kn. Journal of Combinatorial Theory, Series B (Elsevier). 1989, 47 (3): 262––273.
6. Leemans, Dimitri and Schulte, Egon. Polytopes with groups of type PGL₂(q). arXiv preprint arXiv:0909.1991. 2009.
7. Mixer, Mark. Transitivity of graphs associated with highly symmetric polytopes (PDF). library.northeastern.edu. 2010 [2021-08-25]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-08-25）.
8. Williams, Gordon and Pellicer, Daniel. Quotient representations of uniform tilings. arXiv preprint arXiv:0910.4207. 2009.
9. Simonov, VI and Belov, NV. Characteristics of the crystal structure of rinkite. Soviet Physics Crystallography. 1968, 12 (5): 740–744.
10. Conder, Marston and Cunningham, Gabe. Tight orientably-regular polytopes. arXiv preprint arXiv:1310.1417. 2013.
11. Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-01-26）.

外部連結

• 八面體半形. [2017-07-29]. （原始內容存檔於2016-03-04）.