元因數

在數學上，元因數（unitary divisor）是指一種特殊的因數。若一整數a是另一整數b的因數，且a和${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$互質，則整數a為整數b的元因數。

元因數的概念是來自Ramaswamy S. Vaidyanathaswamy（英語：R. Vaidyanathaswamy） (1931)^[1]，他當時用的名稱是block divisor。

例子

以60為例，5和${\displaystyle {\frac {60}{5}}=12}$互質，因此5是整數60的元因數。

而6和${\displaystyle {\frac {60}{6}}=10}$不互質，因此6不是整數60的元因數，

元因數和

一數字的元因數和函數可以用小寫希臘字母表示σ*(n)。元因數k次方和的函數則表示為σ*_k(n)：

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=\sum _{d\,\mid \,n \atop \gcd(d,\,n/d)=1}\!\!d^{k}.}$

此函數為積性函數，若小於某一數的元因數和等於該數字，則此數字為元完全數。

若數字n的2的冪（包括1），其元因數和為奇數，其他數字的元因數和均為偶數。

性質

1是所有數字的元因數。

n的每個因數都是其元因數，若且唯若n是無平方因子數。